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第二版 -- 平面面積的教學脈絡

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leeys 發表於 2013-11-30 09:08:55 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

管理員|主題 |帖子 |積分 1萬

二、簡單平面圖形的面積
(一)正方形和長方形面積
利用百格板(或者用一平方公分的小方格來拼)讓學生點算長方形面積,發現長方形面積可以用長                              寛簡記之。教師可以把正方形看成長方形的特例,也可以先教正方形,再教長方形。
留意學生對長方形面積的一般化概念,也就是能去除百格板來思考,意思是對所有的長方形,它的面積都是同單位的長 寬的簡記。
(二)平行四邊形面積
教師可以問學生,若我們想計算我們學過的平面圖形:(正方形、長方形、)平行四邊形、三角形、梯形,...等等的面積。那一個和長方形比較像,我們可以先探究它的面積?引出先看平行四邊形。
平行四邊形的面積:可以使用原來學習長方形面積的方法,先用百格板進行點算來面積;此外,也發現還有另一種新的方法,就是把它做切割,再拼成長方形。因此,定義底和高,發現平行四邊形的底和高,與長方形的長和寬一樣長,形成一般化的概念,形成平行四邊形面積是底 高的公式。
因為平行四邊形面積是底 高,因此解如何畫出平行四邊形的高,便非常重要。要畫平行四邊形的高的關鍵概念,就是(回到長方形的長和寛的特性)和底邊垂直。
探討平行四邊形等底同高的性質,或者變化一邊的性質(將平行四邊形用四則運算量化後,要思考的東西)。因為視覺上,同底等高的平行四邊形,形狀很不一樣,因此,要讓學生相信它們的面積還是一樣,可以利用百格板的切割拼湊,讓學生"看到"它們真的相等,再度印證平行四邊形面積真的是底 高。
面積.jpg
(三)三角形和梯形面積
若學生事先做過兩全等三角形可以拼出什麼樣的四邊形問題。老師可以直接問,猜猜看三角形的面積應該會長什麼樣?希望學生能想到可以利用平行四邊形算出三角形面積。
若沒有,可以問要怎樣算出三角形的面積。要學生記得回想以前學過的方法,學過的相關內容。讓學生知道可以利用百格板來點算,再發現可以看成平行四邊形的一半的問題。
等學生能形成三角形面積公式之後,再問如何畫高。希望學生能將平行四形畫高的方法推廣到三角形。對學習較慢的學生,老師要運用多元優選的方法讓他再一次有機會學會。
再問我們可探討三角形什麼性質?讓學生回想平行四邊形的性質(等底同高;同高等低;或者等底時,面積與高成正比的質),並推廣過來。學生不相信(或對學習較緩慢的學生)時,他可以再用百格板來算看看。
梯形面積的教學,儘可能使用一般化的概念來學習,不需要再回到百格板。但是要讓學生知道,他不相信時,還是可以用百格板來算看看。
假如學生的後設認知已被引發出來,學生應該會想到,菱形或者鳶形的面積有沒有公式?其它的四邊形有沒有公式?老師可以和學生共同探討。發現只要把它切成兩個三角形,再想辦法找出它的底和高(關鍵概念 -- 底和高垂直),就可以算它們的面積。
三、面積的切割拼湊
因為我們在小學只學過正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式,再加上扇形或者圓形的面積公式;因此,任何平面圖形的面積都可以想辦法切成者拼成上面的圖形,便可以算出它的面積。假如一個平面圖形無法切成者拼成上面的圖形,那麼我們就要用到國中或者高中的知識了。
例如,下面左圖的圖形面積,可以想像成一個長方形減去左下和右上兩個三角形,也可以把它切成三個三角形,如下圖右邊,再算出它的面積。
   面積補.jpg 面積補2.jpg
資料來源:南一教科書,五上,p.112。
我們也希望學生能有規律的思考問題,例如,下圖左邊的正方形邊長是12公尺,道路寬都是2公尺,那麼陰影部份的面積是多少平方公尺?老師可以先給其中一塊長方形的邊長(例如,左上的長和寬分別為7公尺和2公尺),請學生算出陰影的面積(特定的圖形)。學生可以分別算出四塊長方形的長和寬,再算出面積和;學生也發現可以把它拼成一個10*0的正方形。
老師可以再問學生,假如四塊長方形的長和寬都不知道(一般化的圖形,或者上面圖形的推廣),還是可以算出陰影的面積嗎?此時,在數學上,我們只能利用把它拼成一個10*10的正方形的方法來算它的面積。
老師可以再問學生,或者學生能想到,那我把一邊變成斜了以後,面積會變怎樣?如下圖右邊。我們發現它還是可以拼成一個10*10的正方形。
   面積補3.jpg 面積補4.jpg
假如我們再把另一邊也變成斜了以後,如下圖左邊,面積又會怎樣?它還是可以拼成一個10 10的正方形嗎?我們可以利用電腦來模擬一下,發現不能拼成10 10的正方形,發現它的面積比10 10的正方形還大。為什麼會這樣呢?請讀者思考一下。此時,小學生無法求出它的面積,目前我們只能問原來陰影的面積比100平方公尺大或者小;因為斜的角度不一樣,面積也會不相同。
    面積補5.jpg 面積補6.jpg
讀者有興趣,也可以把正方形變成平行四邊形,如下圖。此時,我們可以問,在什麼時候,它也可以拼成平行四邊形?什麼時候它不可以拼成平行四邊形?
面積補7.jpg
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