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第二版 -- 數學感和營造數學感的定義

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leeys 發表於 2014-7-4 19:47:24 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

管理員|主題 |帖子 |積分 1萬

p.51,在一、呼應現今教育理念,之前加上
一、數學感和營造數學感的定義
美國NCTM1989)的<<學校數學課程和評量標準>>(Curriculumand Evaluation Standards for School Mathematics)認為數感就是能從各種數的意義中抽取出有關數的直觀。Resnick1989)認為數感是一種高層次的思維,它的思維網路連結得很快,傾向複雜而沒有一定的運算規則,它也包含多種解答方式、不同規準的應用;它能對結果的合理性做敏銳的判斷和詮釋,同時能在思考過程中自我調整。李源順與林福來(1998)擴展NCTM1989)和Resnick1989)對數感的定義,認為所謂數學感(Mathematical Sense)就是人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。這種抽取直觀的高層次思維讓學習者的思維網路可以連結得很快,因此傾向複雜、沒有一定的運算規則,包含多種解答方式、不同規準的應用,能對結果的合理性做敏銳的判斷和詮釋,同時能在思維過程中自我調整與監控。
李源順與林福來(1998)指出營造數學感就是數學教師在教學時要能強調直觀,養成學生對所學的數學做合理的判斷與連結,便能進一步培養學生的數學感。所謂合理判斷,就是對數學性質和問題能適時的提問合理的結果是什麼,以及結果為什麼是合理的。當學生對數學能做合理判斷時,他才能在思維過程中,對問題的合理性有感覺,並適時調整解題策略。所謂連結,就是要能將數學概念與自然現象、生活經驗及過去所學概念連結。此時學生的數學知識網路才會寬廣,才能對所學的數學有強烈的感覺。
97年九年一貫課程綱要(教育部,2008)指出數學能力是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。在學習數學時,除了重視觀念和演算之外,學生數學經驗(或數學感覺)的培養卻是同等重要。要確保學生能學好新數學題材的要素之一,就在引導並利用學生的前置經驗(或者感覺),這種數學的經驗(或者感覺)就是數學的直覺或直觀。學生數學能力的深化,奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材,進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上,直觀是思維流暢的具體展現;在能力培養上,直觀讓學生能從根本上,擺脫數學形式規則的束縛,豐富學生在抽象層次上的想像力與觀察力,這二者是學生數學智能發展的重要指標。
NCTM2009)在<<聚焦在高中數學:推理和營造感覺>>(Focusin high school mathematics: Reasoning and sense making)一書中指出,營造感覺是一種對於情境、脈絡或概念連結現存知識的發展性理解。在實作的過程中,推理和營造感覺連續相互交織在一起,且是從非形式觀察(informal observations)連續的跨越到形式演繹(formal deductions),表徵如圖1-3
infomral.jpg                               
1-3     推理和營造感覺的關係圖
NCTM2009)指出NCTM2000<<學校數學的原則與標準>>Principles andstandards for school mathematics)一書中的數學過程目標(解題、推理和證明、連結、溝通和表徵)是營造數學感覺和推理的行為表現。解題和證明的過程中不可能沒有推理,兩者都是學生發展數學推理和營造數學感不可或缺的途徑。學生所選擇的溝通、連結和表徵都必須用來支持推理和營造數學感,而且在做出選擇的決定時必須依賴推理。因此推理與營造感覺必須是數學課堂的重要部分,不僅是他們本身就是重要的學習目標,而且真正的數學能力的基礎。推理和營造感覺不能只納入單獨的經驗,教師必須持續支持和鼓勵學生走向更複雜的推理層級。
美國NAEP(NAGB,2002)提出的數學能力,包含概念性了解、程序性知識和解題三個因子。學生要能夠展現他的數學能力,需要先了解數學內容的概念(觀念),然後將這些概念內化為程序性知識(能順利運算的過程),之後才能解決一些學生平常沒有看過的問題(也就是解題能力)。
作者依據上面的文獻,發現若要營造數學感(Mathematical Sense Making),就是學生對所學的數學有概念性的了解,再內化為程序性知識,使程序性知識變得有意義;之後才能進行解題、連結、推理、溝通、表徵,以及後設認知的學習;最後才能達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。
作者之所以納入後設認知,主是因為Resnick1989)強調能在思考過程中自我調整與監控的後設認知,游自達(2013)也認為感覺要融合後設認知而後發展出的直覺,同時向來在國際評量都名列前茅的新加坡(Singapore Ministry of Education2012)課程綱要中明列後設認知是數學解題的重要面向之一。作者研究過程中也受到後設認知能力的養成,讓我察覺到許多我先前沒有察覺到知識,讓我對數學更有感覺,因此作者特地將對數學材料進行概念性的了解、內化為程序性知識、解題、連結、推理、溝通、表徵的學習過程,以及後設認知納入營造數學感的重要面向。
後設認知的意思是認知的認知,張春興(1992)認為當個體面對某種訊息,如果在認知上超過知其然,而達到知其所以然的地步,即稱為後設認知(metacognition),也就是個體對自己的認知歷程能掌握、控制、支配、監控、評鑑的高層次認知
張春興(1996)認為後設認知包括兩種層面:其一是後設認知知識(metacognition knowledge);其二是後設認知技能(metacognition skill)。後設認知知識是指個人對自己所學知識的了解,個人不但了解自己所學知識的性質與內容,而且也知道知識中所蘊含的意義及原理原則。舉例而言,學生在做同分母分數的加法(一個蛋平分成8塊,小明吃了 個,小華吃了 個,兩人共吃了多少個?)時,能夠算對( ),也知道分母相同才可以相加(機械性了解),學生已有了認知;當學生了解為什麼分母相同才可以相加,也就是了解它的概念性解釋(關係性了解)(因為每一塊都一樣大,小明吃了 ,小華吃了 ,兩人一共了3塊,因此對一個蛋糕來說是吃了 個),那麼學生有就了認知的認知,了解其原理、原則,學生有了後設認知。
後設認知技能是指個人對自己行動適當監控的心理歷程。舉例而言,學生了解整數有四則運算,整數的四則運算都是利用位值概念來解釋的;此時,學生已經能夠對自己的行動進行適當的監控,學生有了認知技能。

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