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數學教師知識庫--李源順

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**數學感的宏觀理論

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leeys 發表於 2015-6-29 09:59:58 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

管理員|主題 |帖子 |積分 7768

壹、數學來自生需求
一、有些小學的數學觀念是來自生活的需要
1.        我們為了了解自己擁有多少的事物,或者多少錢,而需要使用自然數計數(自然數:1、2、3、4、5、6…………)。
2.        我們為了了解兄弟兩人全部的錢有多少,或者哥哥比弟弟多多少錢、少多少錢的問題,而需要使用加法和減法的概念。
3.        我們為了快速計算全班買作業簿子所需要的費用,而需要乘法概念。
4.        你還可以說出,在什麼情況下,我們需要數學嗎?例如,分數、小數、…

二、有些數學觀念是生活觀念的理想化與抽象化
1.        我們到超級市場去,時常會看到1顆蘋果35元,3顆100元。可是數學上,1顆蘋果35元,3顆一定是                              元。
2.        在生活中,一瓶牛奶不是剛剛好等於1公升;在數學上,我們會把它理想化成剛好是1公升。
3.        我們會用積木或者畫圓圈圈來代替有多少個蘋果、多少個人、多少張椅子、…,最後再把它抽象化為數的概念。所以數(1, 2, 3, …)是量(1個人,2個人,3個人)的抽象化。
4.        在生活中的線是有寬度的,但是在數學上,我們把它抽象化為沒有寬度,因此線的面積是0平方公分。
5.        你還可以說出,在什麼情況下,數學是生活的理想化與抽象化嗎?
6.        因為理想化與抽象化,有那些地方的生活與數學是有差異的?

三、
數學觀念有它的啟蒙情境(開始學的情境)
1.        自然數的啟蒙脈絡來自我們要計數的個物。例如桌上的蘋果有五顆。
2.        整數加法和減法的啟蒙脈絡,例如,家裏有2顆蘋果,媽媽又買了8顆蘋果回來,問家裏現在有多少顆蘋果?家裏有8顆蘋果,哥哥吃掉了3顆蘋果,問家裏現在還有多少顆蘋果?
3.        整數乘法的啟蒙境境來自累加相同的個物
4.        分數概念啟蒙情境來自,把一個東西平分給多數的人,不夠分才要切來分。
5.        你還可以說出,其他的啟蒙情境嗎?

貳、在數學內部繁衍茁壯
四、
數學觀念包括概念、運算和性質
1.        例如,自然數(1,2,3,…有時候稱做整數)和0,分數、小數,稱做概念。
2.        345是300+40+5或者3個百、4個十、5個一合起來的,也是概念。
3.         3/8的意思是一蛋糕平分8份,其中的3;或者3個 盒,也是概念。
4.        加、減、乘、除,稱為運算。
5.        交換律(2+3=3+2),結合律((5+7)+3=5+(7+3)) ,分配律(5*7+5*3=5*(7+3)) 稱為性質。
6.        3位數乘以4位數是幾位數,也可以稱為性質。到國中、高中,我們會學到其他的概念、運算和性質。
7.        你知道其他的概念、運算、性質嗎?
8.        你知道四則運算、性質怎麼用概念來解釋是什麼嗎?
9.        在什麼時候才會有上面的性質嗎?

五、
數學觀念時常在推廣
為了讓老師和同學快速了解理論,我把推廣、變形、一般化、...等等統稱為推廣。
1.        概念會推廣。例如,整數推廣到分數和小數。
2.        運算間會推廣。例如,乘法是加法的推廣。除法可以看成是減法的推廣。分數乘法可以看成整數乘法的推廣。
3.        運算內也會推廣。例如,「小明有8顆彈珠,小華有5顆彈珠,小明比小華多幾顆彈珠?」問題,有同學說小明怎麼可以把小華的減掉小明的彈珠?其實它要做語意轉換,「將小華的彈珠一個一個對應到小明的5顆彈珠,8-5是小明扣掉相對應的那5顆彈珠後,剩下的彈珠,就是小明多的彈珠,或者是小華少的彈珠。」例如,「長5公分,寬3的長方形面積多是少?」的問題,也是一個盤子裡有5顆蘋果,3個盤子有幾顆蘋果的推廣。
4.        你還知道那些是那個觀念是那個觀念推廣來的嗎?
5.        推廣以後,有那個地方改變了?那個地方沒變?

六、數學觀念來源不同卻會合流
1.        整數除法來自多個離散量的個物平分給少數幾個人(2÷3,大部份的孩子會說2個東西平分給3個人);分數則來自少數的連續量的個物要平分給多數的人(2/3,大部份的孩子會說一個披薩平分成3塊其中的2塊)。到了中年級,兩者的概念合在一起了,所以2÷3=2/3。
2.        到了高年級,我們可以用容量來算體積。
3.        日後我們還會發現許多不同的觀念,後來會合在一起。

七、
探討數學觀念之間的關係
1.        我們學了自然數以及它的乘、除法運算以後,我們用運算去了解二個自然數有什麼特性,因此定義出所謂的質數、合數、正方形數(1, 4, 9, 16)、…等特別的數。
2.        學到三角形有三個邊和三個角,就想了解三個邊之間有什麼關係、三個角之間有什麼關係、邊和角又有什麼關係。
3.        你知道上面的關係嗎?還知道其他的關係嗎?

八、數學觀念應該考慮它的逆觀念:為了讓老師和同學快速了解理論,我把逆概念、反例、非例、...等等統稱為逆概念。
1.        減法運算和加法運算是一種逆運算,除法運算和乘法運算是一種逆運算。
2.        345是3個百、4個十、5個一合起來的。反過來說3個百、4個十、5個一合起來是345,也可以說是逆概念。
3.        逆概念有時候會對,有時候不一定對。例如,正方形有四個直角,但是逆概念四個直角的四邊形不一定是正方形。
4.        你還知道那些是逆觀念呢?逆概念對不對、難不難呢?

九、
數學觀念的學習愈來愈精準、多元、抽象
1.        剛教除法的時候,「一個瓶子可以裝3公升,13公升的水要用多少個瓶子來裝?」的問題,我們還會繼續問「剩下多少公升?」這時候,學童用的是整數的除法。可是到了五年級左右,同樣的問題,我們只是問「每3公升裝一瓶,13公升的水可以裝幾瓶子?」這時候我們要更精準的用分數來回答可以裝幾瓶子。
2.        剛開始量長度時,只要求量到整數公分(cm),後來會要求量到毫米(mm)。
3.        你還知道其他的例子嗎?



參、數學回來解決人的問題

十、數學觀念可以解決碰到的問題
1.        當我們學會百分數之後,我們就知道1顆蘋果35元,3 顆100元是打多少折扣;更貼近生活情境了。
2.        你會用數學觀念來解決生活問題嗎?舉例說明。

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