壹、數學來自生需求
一、有些小學的數學觀念是來自生活的需要1. 我們為了了解自己擁有多少的事物，或者多少錢，而需要使用自然數計數(自然數:1、2、3、4、5、6…………)。 2. 我們為了了解兄弟兩人全部的錢有多少，或者哥哥比弟弟多多少錢、少多少錢的問題，而需要使用加法和減法的概念。 3. 我們為了快速計算全班買作業簿子所需要的費用，而需要乘法概念。 4. 你還可以說出，在什麼情況下，我們需要數學嗎？例如，分數、小數、…
二、有些數學觀念是生活觀念的理想化與抽象化1. 我們到超級市場去，時常會看到1顆蘋果35元，3顆100元。可是數學上，1顆蘋果35元，3顆一定是 元。 2. 在生活中，一瓶牛奶不是剛剛好等於1公升；在數學上，我們會把它理想化成剛好是1公升。 3. 我們會用積木或者畫圓圈圈來代替有多少個蘋果、多少個人、多少張椅子、…，最後再把它抽象化為數的概念。所以數(1, 2, 3, …)是量(1個人，2個人，3個人)的抽象化。 4. 在生活中的線是有寬度的，但是在數學上，我們把它抽象化為沒有寬度，因此線的面積是0平方公分。 5. 你還可以說出，在什麼情況下，數學是生活的理想化與抽象化嗎？ 6. 因為理想化與抽象化，有那些地方的生活與數學是有差異的？
三、數學觀念有它的啟蒙情境（開始學的情境）1. 自然數的啟蒙脈絡來自我們要計數的個物。例如桌上的蘋果有五顆。 2. 整數加法和減法的啟蒙脈絡，例如，家裏有2顆蘋果，媽媽又買了8顆蘋果回來，問家裏現在有多少顆蘋果？家裏有8顆蘋果，哥哥吃掉了3顆蘋果，問家裏現在還有多少顆蘋果？ 3. 整數乘法的啟蒙境境來自累加相同的個物。 4. 分數概念啟蒙情境來自，把一個東西平分給多數的人，不夠分才要切來分。 5. 你還可以說出，其他的啟蒙情境嗎？
貳、在數學內部繁衍茁壯
四、數學觀念包括概念、運算和性質1. 例如，自然數（1,2,3,…有時候稱做整數）和0，分數、小數，稱做概念。 2. 345是300+40+5或者3個百、4個十、5個一合起來的，也是概念。 3. 3/8的意思是一盒蛋糕平分成8份，其中的3份；或者3個 盒，也是概念。 4. 加、減、乘、除，稱為運算。 5. 交換律（2+3=3+2），結合律（(5+7)+3=5+(7+3)) ，分配律(5*7+5*3=5*(7+3)) 稱為性質。 6. 3位數乘以4位數是幾位數，也可以稱為性質。到國中、高中，我們會學到其他的概念、運算和性質。 7. 你知道其他的概念、運算、性質嗎？ 8. 你知道四則運算、性質怎麼用概念來解釋是什麼嗎？ 9. 在什麼時候才會有上面的性質嗎？
五、數學觀念時常在推廣為了讓老師和同學快速了解理論，我把推廣、變形、一般化、...等等統稱為推廣。 1. 概念會推廣。例如，整數推廣到分數和小數。 2. 運算間會推廣。例如，乘法是加法的推廣。除法可以看成是減法的推廣。分數乘法可以看成整數乘法的推廣。 3. 運算內也會推廣。例如，「小明有8顆彈珠，小華有5顆彈珠，小明比小華多幾顆彈珠？」問題，有同學說小明怎麼可以把小華的減掉小明的彈珠？其實它要做語意轉換，「將小華的彈珠一個一個對應到小明的5顆彈珠，8-5是小明扣掉相對應的那5顆彈珠後，剩下的彈珠，就是小明多的彈珠，或者是小華少的彈珠。」例如，「長5公分，寬3的長方形面積多是少？」的問題，也是一個盤子裡有5顆蘋果，3個盤子有幾顆蘋果的推廣。 4. 你還知道那些是那個觀念是那個觀念推廣來的嗎？ 5. 推廣以後，有那個地方改變了？那個地方沒變？
六、數學觀念來源不同卻會合流1. 整數除法來自多個離散量的個物平分給少數幾個人(2÷3，大部份的孩子會說2個東西平分給3個人)；分數則來自少數的連續量的個物要平分給多數的人（2/3，大部份的孩子會說一個披薩平分成3塊其中的2塊）。到了中年級，兩者的概念合在一起了，所以2÷3=2/3。 2. 到了高年級，我們可以用容量來算體積。 3. 日後我們還會發現許多不同的觀念，後來會合在一起。
七、探討數學觀念之間的關係1. 我們學了自然數以及它的乘、除法運算以後，我們用運算去了解二個自然數有什麼特性，因此定義出所謂的質數、合數、正方形數（1, 4, 9, 16）、…等特別的數。 2. 學到三角形有三個邊和三個角，就想了解三個邊之間有什麼關係、三個角之間有什麼關係、邊和角又有什麼關係。 3. 你知道上面的關係嗎？還知道其他的關係嗎？
八、數學觀念應該考慮它的逆觀念：為了讓老師和同學快速了解理論，我把逆概念、反例、非例、...等等統稱為逆概念。
1. 減法運算和加法運算是一種逆運算，除法運算和乘法運算是一種逆運算。 2. 345是3個百、4個十、5個一合起來的。反過來說3個百、4個十、5個一合起來是345，也可以說是逆概念。 3. 逆概念有時候會對，有時候不一定對。例如，正方形有四個直角，但是逆概念四個直角的四邊形不一定是正方形。 4. 你還知道那些是逆觀念呢？逆概念對不對、難不難呢？
九、數學觀念的學習愈來愈精準、多元、抽象1. 剛教除法的時候，「一個瓶子可以裝3公升，13公升的水要用多少個瓶子來裝？」的問題，我們還會繼續問「剩下多少公升？」這時候，學童用的是整數的除法。可是到了五年級左右，同樣的問題，我們只是問「每3公升裝一瓶，13公升的水可以裝幾瓶子？」這時候我們要更精準的用分數來回答可以裝幾瓶子。 2. 剛開始量長度時，只要求量到整數公分（cm），後來會要求量到毫米(mm)。 3. 你還知道其他的例子嗎？
參、數學回來解決人的問題
十、數學觀念可以解決碰到的問題1. 當我們學會百分數之後，我們就知道1顆蘋果35元，3 顆100元是打多少折扣；更貼近生活情境了。 2. 你會用數學觀念來解決生活問題嗎？舉例說明。
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