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leeys 發表於 2018-12-23 13:19:29 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

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數學感教育: 國小數學這樣教 1
序 I
目錄(更詳細的目錄參見最後一章) II
圖表目次 VI
第一章 數學感教育的理論 8
第一節 數學感和營造數學感的定義 9
第二節 數學感的內容理論 13
壹、 數學的發展來自解決生活問題的需求 13
一、 許多數學觀念來自生活觀念的理想化與抽象化 13
二、 數學觀念的學習有它的啟蒙脈絡 17
貳、 在數學內部生成與繁衍 18
一、 數學觀念包括概念、運算和性質 18
二、 數學觀念時常在進行推廣 21
第二章 │ 22
一、 數學觀念來源不同卻會合流 25
二、 探討數學觀念之間的關係 26
三、 數學觀念應該考慮它的逆觀念 27
四、 數學觀念的學習愈來愈精準、多元、抽象 28
貳、 解決人類碰到的問題,促進人類發展 29
第二節 數學感的教、學策略 30
壹、 一個起動機制 30
貳、 五個核心內涵 31
一、 舉例 31
二、 簡化 33
三、 畫圖 34
四、 問為什麼 34
五、 回想(或者連結、課程統整、後設認知、…一樣…不一樣) 35
參、 一個起動機制、五個核心內涵可以營造學生的數學感 36
肆、 一個起動機制、五個核心內涵在生活中也非常有用 37
第三節 多元優選理念 39
壹、 情意重於教學 39
貳、 教學的變因愈少愈好 40
參、 合理推論 40
一、 老師真的懂了嗎? 41
二、 那個程度的學生會了? 41
三、 溝通良好嗎? 41
肆、 為何要溝通 42
伍、 教學與解題 43
陸、 多元優選 43
一、 有許多種教學方法 43
(一) 個別實作 43
(二) 全班溝通討論 44
(三) 小組合作學習 45
(四) 講述教學 46
二、 教學多元優選 46
三、 教學的重要順序 47
(一) 情意重於教學 47
(二) 先把教學的變數減少到最低,讓教學的常數愈來愈多 47
(三) 數學知識à學童認知à教學方法 48
(四) 具體操作à圖形表徵à文字符號 V.S文字符號à圖形表徵à具體操作 48
(五) 教學的重點 48
(六) 教學的步驟 49
(七) 學會連結先前所學 51
(八) 特定單元一般化到其他單元的教學 51
(九) 備課、觀課、議課 51
1. 備課 52
2. 教課與觀課 52
3. 議課、評課 53
第四節 數學感教育的相關理論 53
壹、 NAEP的架構 – 數學能力、數學威力 53
一、 數學內容 54
二、 數學能力 56
(一) 概念性了解 56
1. 能辨識某概念的正、反例 56
2. 能利用模型、圖形和符號表達某概念 57
3. 能辨認原理(在某些條件下,概念關係的一般性敘述) 57
4. 能知道定義的條件或性質 57
5. 能連結某概念的不同表現形式 57
6. 能整合各種概念間的關係 57
7. 能從不同情境中,辨識與解釋符號所表達的概念 57
8. 能解釋問題中的條件所涉及的概念 58
9. 能診斷概念的迷思 58
(二) 程序性知識 58
1. 能操作數與符號的運算及估算 58
2. 能正確選擇適當的程序 59
3. 能讀圖、查表、製作圖表 59
(三) 能檢驗所用的程序無誤 59
(四) 解題 59
1. 能從情境中辨識數學元素並形成問題 60
2. 能瞭解條件的充分性與一致性 60
3. 能應用適當的定義、定理或性質 60
4. 能使用相關的數學知識或策略轉換問題 61
5. 能使用、修改或推廣程序 61
6. 能運用推理能力 61
7. 能檢驗結果的合理性與正確性 62
8. 能使用數學語言表達解題過程 62
三、 數學威力 63
(一) 推理 63
(二) 連結 63
(三) 溝通 64
貳、 數學教與學的相關概念 65
一、 表徵 65
(一) 意義 65
(二) 說、讀、聽、寫、做 66
二、 診斷教學 67
(一) 錯誤概念 67
(二) 認知衝突 68
(三) 調整教學 68
三、 數單元的內容結構 68
(一) 情境結構 68
(二) 語意結構 69
(三) 運算結構 71
參、 數學素養 72
一、 數學歷程 73
(一) 形成數學情境 74
(二) 應用數學概念、事實、程序與推理 74
(三) 詮釋、應用與評鑑數學結果 74
二、 內容領域 75
(一) 改變與關係 75
(二) 空間與形狀 75
(三) 數量 75
(四) 不確定性和資料 76
三、 脈絡 76
(一) 個人 76
(二) 職業 76
(三) 社會 77
(四) 科學 77
四、 基本的數學力 77
五、 數學素養問題的相關書籍和網站 77
第五節 本書呼應教育理念與課綱 78
壹、 教育哲學 78
貳、 呼應現今教育理念 79
參、 呼應九年一貫與十二年國教課程綱要 80
第六節 相關問題 81
壹、 知識和能力 81
一、 什麼是知識?什麼是能力? 81
二、 如何讓學童學到知識和能力 81
三、 歸納與演繹 82
貳、 數學感內容理論 83
一、 來自生活的需求 83
(一) 引起學生學習動機或學習需求 83
(二) 留意生活用語和數學用語的異同 84
(三) 注意量的教學再形式化到數的概念,必要時再回到量的概念 84
二、 在內部生成繁衍 85
(一) 留意共同的前提(定義域)是不是相同,前提是不是有誤 85
(二) 數學內容的脈絡 – 單位與未知數 86
(三) 單位(量)轉換是數學教、學的重點之一 86
(四) 數學用語、生活用語的精準性問題 87
(五) 留意不精準的數學名詞對學生將來學習的影響 88
(六) 選擇題、填充題、問答題的差異為何? 89
(七) 解題思維與書寫順序的差異 90
三、 促進人類的進步 92
(一) 數學素養的教學 92
(二) 數學素養問題是否能否定前提 93
(三) 數學和自然學科的性質差異 94
(四) 數學證明的奧妙 94
參、 起動機制與核心內涵 95
一、 要溝通什麼? 95
二、 多步驟問題只是多個一步驟問題的合成 95
三、 晝圖的目的之一是了解學童是否有心像 96
四、 問為什麼 96
(一) 問「為什麼」與畫圖的不同意義 96
(二) 回答為什麼有不同的層次 98
(三) 學生讀不懂題意與看到數字就計算 99
五、 後設認知的教學 100
(一) 有規律、有系統的思考 100
(二) …一樣…不一樣 101
(三) 複習舊概念與課程統整 102
肆、 多元優選 103
一、 學童要能夠接受規約,又有彈性 103
二、 老師的意圖非常重要 104
三、 時常將五個核心內涵掛在嘴邊 104
四、 教學方法可以分老師講、學童討論、學童自己發現與能主動使用 105
五、 評量學生的了解可以分成老師的看法、學生展現的觀點 106
六、 老師幫學生搭鷹架的方法不同 106
七、 老師應當做自己不會,再放大、聆聽自己的思維 107
八、 多元優選教學就是若p則q的實際運用 108
伍、 其他教學問題 108
一、 教學從嚴,評量(考試)從寬 -- 養成學生良好的習慣 108
二、 學生有補習怎麼辦? 108
三、 學生學習進展落後很多怎麼辦? 110
四、 專有名詞要不要教學生 111
第七節 參考文獻 111
第二章 全數(Whole number) 116
第一節 全數概念的知識 116
壹、 全數概念 116
一、 數碼、數字、數詞、數辭 116
二、 數與量、單位與單位量 117
(一) 概念 117
(二) 問題 118
1. 蘋果、蛋糕一樣大嗎? 118
2. 生活中和數學上的單位 118
三、 唱數(counting words)和計數(counting) 119
四、 計數 119
(一) 計數的原則 119
1. 固定順序原則(the stable-order principle) 119
2. 一對一原則(the one-one principle) 120
3. 基數原則(the cardinality principle) 120
4. 抽象原則(the abstraction principle) 120
5. 順序無關原則(theorder-irrelevance principle) 120
(二) 計數個物的難易 120
五、 基數和序數 121
(一) 概念 121
(二) 問題 122
1. 為什麼學童會把基數和序數弄混了? 122
2. 100到200之間有幾個數? 123
3. 5以上(或者超過5)有沒有包括5? 123
六、 0的意義 123
七、 正數和倒數(逆概念) 123
八、 幾個一數、偶數、奇數 124
(一) 概念 124
(二) 問題:0是不是偶數?-2是不是偶數?                              是偶數或奇數? 124
九、 數量保留(守恒)概念 124
(一) 概念 124
(二) 問題 125
1. 沒有數保留概念的學童有什麼反應? 125
2. 為什麼有些學童會認為一個十元和十個一元不相等? 125
貳、 全數的結構 126
一、 十進位概念 126
二、 位值概念 126
(一) 概念 126
(二) 問題 127
1. 有無位值概念的差別是什麼? 127
2. 為什麼學生會把二十三寫成203? 127
三、 定位板 128
四、 全數的化聚 -- 單位(量)轉換 128
(一) 概念 128
(二) 問題 129
1. 123變成1個百2個十和3個一是化,還是聚? 129
2. 定位板內可不可以放積木或錢幣表徵? 129
五、 位名的規律 130
(一) 概念 130
(二) 問題 131
1. 大數可不可以每四位一逗號? 131
2. 數字的略讀有什麼問題? 131
3. 200可不可以讀作兩百 131
六、 多單位系統 132
七、 位數 132
八、 數的結構 132
九、 數的說、讀、聽、寫、做 133
(一) 概念 133
(二) 問題 134
1. 數的概念要怎麼教? 134
2. 圓圈圈與錢幣的圖形表徵 134
3. 什麼是整數? 135
參、 全數的大小比較 135
一、 概念 135
二、 問題 135
(一) 大於的符號怎麼介紹? 135
(二) 用先數到和後數到來教數的大小好不好? 136
(三) 數的大小比較– 數學結構觀點和學生學習觀點 136
(四) 多少、大小比較的語意轉換 137
(五) 100元可以買哪些物品? 137
肆、 數線 138
一、 概念 138
二、 問題:為什麼學童在公分尺(數線)上會數錯? 139
伍、 形式知識與非形式知識 139
第二節 全數概念的教學 140
壹、 十以內的數 141
一、 引起學習動機 141
二、 新概念教學 141
(一) 唱數 141
(二) 計數(量和數的計數) 141
(三) 表徵連結 141
(四) 倒數 142
(五) 心像 142
(六) 0和大小比較 143
(七) 數量保留 143
(八) 序數 143
三、 留意學習落後學生 144
四、 課程統整 144
貳、 三十以內的數、一百以內的數 144
一、 引起學習動機 144
二、 新概念教學 145
(一) 唱數、計數、表徵 145
(二) 位值概念與化聚 146
(三) 表徵 146
(四) 關鍵概念 146
(五) 數量的大小比較 147
(六) 心像 147
三、 課程統整 147
四、 留意學習落後學生 148
參、 一千、一萬以內的計數 148
一、 引起學習動機 148
二、 新概念教學 – 從大單位開始計數 148
三、 課程統整 150
肆、 大數 150
第三節 全數四則運算的知識 151
壹、 數的分與合 151
一、 概念 151
二、 問題:數的分與合的教學目的是什麼? 152
貳、 四則運算的概念性知識 153
一、 加法概念的概念性知識 153
(一) 概念 153
(二) 問題 153
1. 「是」的意思是什麼? 153
2. 什麼是「等於」? 154
3. 什麼是算式記錄?什麼是列算式? 154
二、 加法結果的概念性知識 154
(一) 全部數 155
(二) 往上數 156
(三) 從比較大的數往上數 157
(四) 十的合成 157
(五) 基本加法事實 158
(六) 由加法基本事實導出 159
1. 先加加數的十位再加個位 160
2. 十位加十位,個位加個位 160
3. 個位加個位,十位加十位 161
4. 多位數的加法 162
(七) 問題 163
1. 如何讓學童較快能夠記憶加法基本事實? 163
2. 學生無法記憶加法基本事實怎麼辦? 164
3. 位進問題 164
4. 二位數加法的直式算式記錄應該怎麼記? 164
三、 減法概念的概念性知識 165
四、 減法結果的概念性知識 166
(一) 數剩下 167
(二) 往下數 167
(三) 十的分解 168
(四) 減法基本事實 168
(五) 由減法基本事實導出 169
1. 先減十位再減個位 169
2. 十位減十位,個位減個位 170
3. 個位減個位,十位減十位 170
4. 多位數的減法 172
(六) 問題:為什麼63-25有些學生會算成42? 172
五、 乘法概念的概念性知識 172
(一) 概念 172
(二) 1和0的乘法 – 乘法概念推廣 174
(三) 問題 175
1. 如何讓學童記住被乘數和乘數 175
2. 0和1乘法的迷思 175
六、 乘法結果的概念性知識 175
(一) 乘法累加 175
(二) 乘法基本事實 176
(三) 由乘法事實導出 177
1. 乘以一位 177
2. 乘以二位以上 178
(四) 問題 179
1. 如何讓學童更容易記憶九九乘法? 179
2. 高年級學童九九乘法表不會背,怎麼辦? 180
3. 乘法直式算則是上面乘以下面? 181
4. 如何教多位數乘法直式計算的概念? 181
5. 大數的直式乘法可以對齊非零的數嗎? 181
七、 除法概念的概念性知識 183
(一) 包含除 183
(二) 等分除 184
八、 除法結果的概念性知識 184
(一) 包含除 184
1. 連結加法 185
2. 連結減法 185
3. 連結乘法 185
4. 多位除以一位 186
5. 多位除以二位以上 187
(二) 等分除 189
1. 利用加法 190
2. 利用減法 191
3. 利用乘法 192
4. 多位除以一位 193
5. 多位除以二位以上 194
(三) 問題 196
1. 0和1的除法學童知道嗎? 196
2. 如何估商? 196
九、 學童數概念的運思階段 197
(一) 序列性合成運思(sequentialintegration operations) 197
(二) 累進性合成運思(progressiveintegration operation) 198
(三) 部分─全體運思(part-wholeoperation) 198
(四) 測量運思(measurementoperation) 198
(五) 比例運思(ratiooperations) 199
(六) 問題:學童數概念的運思階段想告訴我們什麼? 199
參、 四則運算的程序性知識 200
一、 加法的程序性知識 200
二、 減法的程序性知識 201
三、 乘法的程序性知識 202
四、 除法的程序性知識 203
(一) 除數為一位數 203
1. 最高位數大於或等於除數 203
2. 最高位小於除數 203
(二) 除數為多位數 204
1. 前面兩位數大於或者等於兩位除數時 204
2. 前面兩位數小於兩位除數時 205
五、 問題 206
(一) 横式的左右和直式的上下一定要相等嗎? 206
(二) 直式一定要寫嗎?要求對齊嗎?+號之後要空格嗎?寫幾個+號? 207
(三) 應用問題的直式一定要寫嗎?横式一要寫嗎? 207
肆、 四則運算的解題性知識 207
一、 情境結構 208
二、 語意結構 208
(一) 加減法的語意結構 208
1. 改變型(change) 209
2. 合併型(combine) 209
3. 比較型(比多型和比少型)(compare) 210
4. 平衡型(等化型)(equalize) 211
(二) 問題:為什麼加減法的比較型問題比改變型問題難? 212
(三) 乘法的語意結構 212
1. 等組(或等量)型(equal groups, equal measures) 212
2. 矩陣型(陣列型)(arrary) 213
3. 倍數型(times) 214
4. 比例型(proportion) 214
5. 面積型(rectangular area) 215
6. 笛卡爾積(Cartesian product)或組合型(Combine) 215
(四) 除法的語意結構 215
1. 等分除 215
2. 包含除 216
(五) 問題 216
1. 除法問題需不需要說儘量分完? 216
2. 如何教導學生有關是否有餘數的除法列式問題? 217
三、 運算結構 218
(一) 加減法的運算結構 218
1. 數的運算結構 218
(1). 和(差)數未知 218
(2). 加(減)數未知 218
(3). 被加(減)數未知 218
2. 量的運算結構 219
(1). 改變型 219
(2). 合併型 219
(3). 比較型 219
(4). 平衡型(等化型) 220
(二) 乘除法的運算結構 220
1. 總量未知 220
2. 單位數未知 221
3. 單位量未知 221
(三) 運算結構的目的 221
四、 參考資料:學者對加減法語意與運算結構的參考資料 221
(一) Usiskin的加減法題型 222
(二) Riley, Greeno & Heller的加減法題型 222
(三) Fuson的加減法題型 223
(四) Baroody的10種減法題型 224
(五) Carpenter, Fennema, Franke, Levi, & Empson的加減法類型 225
五、 參考資料:學者對乘法和除法語意結構的參考資料 225
(一) Vergnaud(1988)的乘除法語意結構 225
1. 數量同構型 225
(1). 乘法 226
(2). 除法(等分除) 226
(3). 除法(包含除) 226
2. 數量叉積型 226
(1). 乘法 226
(2). 除法 227
3. 多重比例型 227
(1). 乘法問題 227
(2). 包含除問題 228
(3). 等分除問題 228
(二) Schwartz(1988)的乘除法語意結構 228
1. (I, E, E') 228
2. (I, I', I") 229
3. (E, E', E") 229
4. (E, S, E') 229
(1). 乘法問題 229
(2). 包含除問題 229
(3). 等分除問題 230
(三) Schmidt & Weiser(1995)的乘除法語意結構 230
1. 形成n倍的量 230
(1). 部份 -- 全體結構 230
(2). 重複結構 230
(3). 乘法改變結構 231
(4).乘法比較結構 231
(5).比例結構 231
2. 組合結構(The combination structure) 231
3. 合成運算結構(The structure of composition of operator) 231
4. 公式乘法(Multiplication by formula) 231
(四) Anghileri & Johnson(1988)的乘除法的語意結構 232
1. 等群組(equal groupings) 232
2. 分配/比率(allocation/rate) 232
3. 數線(number line) 232
4. 矩陣(array) 232
5. 笛卡爾積(Cartesian product) 232
(五) Greer(1992)的乘除法的語意結構 232
1. 等組(equal groups) 233
2. 等量(equal measures) 233
3. 乘法的比較(multiplication comparison) 233
4. 笛卡爾積(Cartesian product) 234
5. 矩形面積(rectangular area) 234
(六) Nesher(1988)的乘除法的語意結構 234
1. 映像規則(mapping rule) 234
2. 笛卡爾積(Cartesian multiplication) 234
3. 乘法比較(Multiplicative comparison) 234
(七) Bell, Greer, Grimison & Mangan(1989) 234
1. 對稱型(symmetric) 234
2. 非對稱型(asymmetric) 234
六、 算式填充題與線段圖 235
(一) 算式填充題 235
(二) 線段圖 235
(三) 問題 236
1. 為什麼要學算式填充題和線段圖? 236
2. 什麼叫做依題意列式? 236
3. 線段圖怎麼畫? 237
(1). 加一量就延長一段,減一量就扣掉一段 237
(2). 依題意畫線段圖與先列式再畫線圖 239
(3). 線段圖的比例問題 240
4. 利用加一量或者拿走一量來感受那一個數最大 241
七、 併式 241
(一) 兩步驟問題與併式 241
(二) 問題 243
1. 為什麼要學併式? 243
2. 併式的規約怎麼教? 243
3. 學生學習併式有什麼迷思? 244
4. 國中老師和小學老師的要求一樣嗎? 245
5. 在教加乘兩步驟問題時可不可以用三步驟來算 245
第四節 全數四則運算的教學 246
壹、 分與合 246
貳、 加法和減法 248
一、 概念性知識內化為程序性知識 248
二、 解題性知識 249
三、 教學注意事項 252
參、 乘法 253
肆、 除法 254
伍、 後設認知 255
陸、 問題 256
一、 教四則運算的重點是什麼? 256
二、 對於未能跟上學習的學童如何進行補救呢? 256
三、 為什麼學童會把概念過度一般化? 257
四、 為什麼學童對大數文字題的理解有困難? 257
第五節 全數性質的相關知識 258
壹、 單一運算子 258
一、 變大、變小 258
(一) 概念 258
(二) 問題:為什麼學生會認為加變大,減變小?乘變大,除變小? 259
二、 位數的四則運算 259
三、 交換律 260
(一) 學童學習加法交換律有什麼問題? 261
(二) 在小學要談減法沒有交換律嗎? 262
(三) 8*5寫成5*8可不可以?(乘法交換律的問題) 263
(四) 各國對乘法算式的規約 264
(五) 為什麼除法沒有交換律? 269
四、 加減互逆和乘除互逆 269
(一)加減互逆和乘除互逆應注意的地方 270
(二) 若a 與 ,有沒有不同? 270
貳、 兩個運算子 271
一、 相同運算子 – 結合律 271
二、 不同運算子 271
(一) 分配律 271
(二) 其他性質 272
三、 問題 272
(一) 是結合律嗎? 272
(二) 結合律與分配律的學習動機是什麼? 273
(三) 如何進行結合律和分配律的教學呢? 273
第六節 全數性質的教學 274
第七節 107年課綱分年學習內容--全數 275
第八節 參考文獻 276
第三章 分數(Fraction) 279
第一節 分數概念的知識 279
壹、 分數 279
一、 分數啟蒙概念 279
(一) 平分或等分 279
(二) 分數的單位量(整體量) 279
(三) 部份 – 全體與分子、分母 280
(四) 問題: ? 281
二、 分數的表示法、單位分量、單位分數 281
三、 分數的圖形表徵 282
四、 線段的等分 283
五、 真分數、假分數、帶分數及其互換 284
六、 狹義和廣義的分數(概念推廣) 286
七、 學生學習分數基本概念時的迷思 286
(一) 忽略單位量 286
(二) 受分子或者分母控制 287
八、 學童對分數 的迷思舉偶 288
(一) 文字說明 289
1. 單位一致、少平分 289
2. 少平分、少單位 289
3. 加法或減法 289
4. 情境不合理或者沒有說明 289
(二) 畫圖 290
1. 圓形、長條、離散量-有等分 290
2. 線段-隱含單位-平分 290
3. 圓形-不等分 290
貳、 等值分數 290
一、 單位分數的內容物 290
二、 等值分數、擴分、約分 291
(一) 等值分數 291
(二) 約分和擴分 292
(三) 問題:為什麼學童會認為 之間只有4個分數? 292
三、 通分 293
四、 最簡分數 293
參、 分數的大小比較 293
肆、 分數化成(有限)小數 295
伍、 分數表示兩數相除的結果(分數概念推廣) 296
一、 概念 296
二、 問題: 297
(一) 23個人坐計程車一定要6部? 297
(二) 整數除法要如何區分答案是要給整數或者分數呢? 297
第二節 分數概念的教學 298
第三節 分數四則運算 301
壹、 概念性知識 301
一、 同分母分數的加減 301
(一) 利用等分的份數來解釋合成或分解的結果 302
(二) 利用幾個單位分量來解釋合成或分解的結果 302
(三) 利用圖形表徵說明合成或分解的結果 302
二、 分數的整數倍 303
三、 異分母分數的加減 304
四、 分數的分數倍 305
(一) 面積表徵和分數基本概念 306
(二) 線段表徵 308
(三) 文字表徵 309
五、 分數除法的運算 310
(一) 分數除以整數 310
1. 沒有餘數的問題 310
(1). 圖形表徵+分數基本概念 310
(2). 分子除以整數的方法 312
2. 有餘數的問題 313
(二) 分數除以分數 314
1. 沒有餘數的問題 315
(1). 面積表徵和分數基本概念(單位量轉換)的觀點 315
(2). 單位分數的觀點 316
(3). 同單位分數的觀點 318
(4). 倒數的觀點 319
2. 有餘數的問題 320
貳、 程序性知識 320
參、 解題性知識 321
一、 情境結構 321
二、 語意結構 321
(一) 加(減)法的語意結構 321
(二) 乘法的語意結構 322
(三) 除法的語意結構 322
三、 運算結構 322
四、 問題:為什麼學童對分數文字題的理解有困難? 322
肆、 參考文獻 – 當量除 323
第四節 分數四則運算的教學 324
壹、 加法和減法 324
貳、 乘法 326
參、 除法 326
肆、 後設認知 327
第五節 分數運算的性質 327
壹、 單一運算子 328
一、 變大、變小 328
(一) 概念 328
(二) 問題:為什麼學童會誤用乘、除法? 328
二、 交換律 328
三、 加減互逆和乘除互逆 329
貳、 兩個運算子 329
一、 相同運算子 – 結合律 329
二、 不同運算子 329
(一) 分配律 329
(二) 其他性質 329
第六節 分數性質的教學 329
第七節 107年課綱分年學習內容--分數 330
第八節 參考文獻 331
第四章 小數(Decimal) 333
第一節 小數的概念性知識 333
壹、 小數和小數點 333
一、 問題 334
(一) 學童拿0.23張的具體物表徵為什麼會拿錯? 334
(二) 23.23為什麼要唸成二十三點二三? 334
(三) 一位小數的啟蒙教學 335
貳、 純小數、帶小數 336
參、 n位小數 336
肆、 單位小數 336
伍、 大小比較 336
一、 概念 336
二、 問題:學童在小數的大小比較有什麼迷思概念? 337
陸、 有限小數、循環(無限)小數、不循環(無限)小數 337
一、 概念 337
二、 問題:0.2到0.8之間有幾個小數? 337
柒、 分數和小數互換 338
一、 概念 338
二、 問題 338
(一) 小數和分數如何互換? 338
(二) 那些分數可以化成有限小數? 339
(三) 連分數(繁分數) --  大學數學系才可能學到的概念 340
(四) 的循環小數等於1嗎? 340
第二節 小數概念的教學 340
第三節 小數四則運算 342
壹、 小數的概念性知識 342
一、 加、減法 343
(一) 為什麼學童在小數加減法仍然對齊最右邊? 343
(二) 假如小數加法用異分母解釋,異分母還要用擴分解釋,那還得了? 344
二、 乘、除法 344
(一) 小數乘以整數 345
(二) 小數乘以小數 345
(三) 小數除以整數 346
(四) 小數除以小數 347
(五) 4.9 2.4=49 24=2…1那裡錯了? 349
貳、 小數的程序性知識 351
參、 小數的解題性知識 352
一、 情境結構 352
二、 語意結構 352
(一) 加(減)法的語意結構 352
(二) 乘法的語意結構 352
(三) 除法的語意結構 352
三、 運算結構 352
四、 問題 353
(一) 為什麼學童對小數文字題的理解有困難? 353
(二) 為什麼學童會誤用乘、除法? 353
(三) 為什麼學童在小數乘法仍然對齊個位? 353
(四) 小數乘法最右邊對齊和大數乘法也有類似的地方 354
第四節 小數四則運算的教學 354
第五節 小數的性質 355
壹、 單一運算元 355
一、 變大、變小 356
二、 交換律 356
三、 加減互逆和乘除互逆 356
貳、 兩個運算元 356
一、 相同運算元 – 結合律 356
二、 不同運算元 356
(一) 分配律 356
(二) 其他性質 357
第六節 小數性質的教學 357
第七節 107年課綱分年學習內容--小數 357
第八節 參考文獻 358
第五章 數運算的概念推廣 359
第一節 運算推廣的相關概念 359
壹、 概數相關概念 359
一、 概數與精確數 359
二、 取概數 359
三、 估算 361
四、 概數的問題 361
(一) 七十幾有沒有包括七十? 361
(二) 2300可不可以用無條件進位法取概數到百位? 363
(三) 為什麼學童對無條件進位有迷思? 363
(四) 那些數四捨五入到百位是30000? 363
(五) 先估再算與先算再估的差別是什麼? 364
(六) 取概數的有效位數問題 364
貳、 因數和倍數相關概念 365
一、 因數、倍數 365
二、 公因數和公倍數 366
三、 因數與倍數的問題 366
(一) 3是 的9倍,所以3是 的倍數? 366
(二) 因數與倍數的教學需不需要具體操作? 367
(三) 因數的學習進程為何? 367
1. 除除看 367
2. 一次找兩個 368
3. 質因數分解 368
(四) 倍數的學習進程為何? 368
1. 除除看 368
2. 找所有的倍數 368
(五) 因數(倍數)判別法 369
1. 2的因數判別法 369
2. 3的因數判別法 369
3. 5的因數判別法 369
4. 7和13的因數判別法 369
5. 11的因數判別法 370
(六) 最大公因數的學習進程為何? 370
1. 列出所有數的所有因數 370
2. 列出一個數的所有因數 371
3. 質因數分解 371
(七) 最小公倍數的學習進程為何? 372
1. 列出所有數的倍數 372
2. 列出一個數的倍數 372
3. 質因數分解 372
(八) 問題:兩個數和三個數的最大公因數和最小公倍數做法相同嗎? 373
參、 質數和合數 373
一、 質因數、互質 374
二、 質因數分解、短除法 374
三、 質數與合數的問題 375
(一) 短除法可不可以用合數來除呢? 375
肆、 比的相關概念 375
一、 比率、百分率 375
二、 比、比值 375
三、 正比、反比 377
四、 比的相關問題 377
(一) 棒球比賽的比數2:3是不是比?可不可以變成4:6? 377
(二) 可不可以這樣寫2:3= ? 378
(三) 蘋果顆數和售價真的成正比例嗎? 379
(四) 比例問題的難易度為何? 380
(五) 相等的比可不可以用內項相乘等於外項相乘來算? 380
(六) 為什麼學童對比例問題會用加法來做呢? 381
(七) 如何對有加法策略的學童進行教學? 381
五、 導出量、導出單位 382
六、 基準量和比較量 382
七、 折、成、百分率的概念 385
第二節 運算概念推廣的教學 386
壹、 概數與估算的教學 386
貳、 因數和倍數 387
參、 比的教學 387
第三節 107年課綱分年學習內容--運算的推廣 388
第四節 參考文獻 388
第六章 量與測量(Measurement) 390
第一節 量與測量的概念 390
壹、 量的理論 390
一、 階段理論 390
(一) 初步概念、直觀比較與直接比較 390
(二) 間接比較與個別單位比較 391
(三) 常用單位的約定 392
(四) 常用單位的換算與計算 392
二、 量的保留概念 393
三、 問題 393
(一) 量的教學順序是什麼? 393
(二) 如何培養學童的量感 394
(三) 說、讀、聽、寫、做可以用在量的學習嗎? 395
(四) 學生沒寫單位要不要算對? 395
(五) 如何把單位的關係記得更清楚? 396
(六) 概念了解與實作能力 396
貳、 七種量 397
一、 長度 397
(一) 問題 398
1. 那一隻筆比較長? 398
2. 為什麼學童有長度的迷思概念? 398
3. 迴紋針與S型掛勾的長度有多長? 399
4. 鉛筆的長度與黑板的長度,估測值怎麼表示? 400
二、 面積 400
三、 體積 402
四、 重量 403
(一) 概念 403
(二) 1公斤秤和3公斤秤怎麼教? 403
五、 容量和容積 404
(一) 容量 404
(二) 容積 405
(三) 體積、容積和容量的問題 405
1. 體積的單位可不可以用公升?容量的單位可不可以用立方公分? 405
2. 1立方公分的水在4℃才會等於1毫公升嗎? 407
3. 簍空的籃子是不是容器? 408
4. 不規則的線、面和物體能不能測量它們的長度、面積、體積? 408
六、 時間 409
(一) 時間的概念的重要性 409
(二) 時間的比較 409
(三) 長針、短針、時針、分針 410
(四) 24時制與12時制 410
(五) 時間的生活用語和數學用語 410
(六) 問題 411
1. 為什麼有些學生會把8點唸成8點12分? 411
2. 怎麼教鐘面時刻的報讀? 411
3. 8點鐘向前2小時是幾點鐘? 412
4. 8點30分為什麼稱為8點半? 412
5. 為什麼時間要用數學用語呢? 412
6. 要不要區分時間和時刻? 413
7. 一天之中上午11時30分和上午12時30分是那一個比較早? 413
8. 12時制的下午時刻加上12時,就變成24時制的時刻嗎? 413
9. 8點5分的數字鐘面怎麼寫?怎麼唸? 414
(七) 名稱日和週期日 414
(八) 一天、一星期、一個月 414
(九) 大月和小月、平年和閏年 415
七、 角度 415
(一) 角和角度 415
(二) 角的名稱 416
(三) 角的大小比較 417
(四) 問題:為什麼有些學童不會使用量角器量角度? 418
八、 量的計數 419
參、 外延量、內涵量(導出量) 419
肆、 速度、速率 420
一、 概念 420
二、 問題 420
(一) 為什麼學生學不好速度的概念呢? 420
(二) 上山和下山的平均速度是不是直接把速度除以2呢? 421
(三) 瞬時速度和平均速度 422
伍、 左右、前後的問題 422
一、 怎麼教左右? 422
二、 大象的左邊到底是什麼動物? 423
三、 小貓是不是在大象的左邊? 423
四、 前後的問題 423
第二節 量與測量的教學 424
第三節 量的計算 425
壹、 量的四則運算 425
貳、 速度的四則運算 426
參、 量的計算問題 426
一、 複名數的計算一定要化成單名數嗎? 426
二、 複名數的直式計算要寫單位嗎? 426
三、 時間和長度的四則運算有什麼特別? 427
四、 什麼時候速度可以直接平均? 427
五、 作者為什麼會想到上述問題呢? 428
第四節 量的計算教學 428
第五節 107年課綱分年學習內容--量與測量 428
第六節 參考文獻 429
第七章 幾何(Geometric) 431
第一節 幾何的相關概念 431
壹、 平面幾何 431
一、 構成要素:點、線 431
二、 角、角度和相關命名 432
三、 周界、周長 433
四、 水平、鉛直、平行、垂直 433
五、 三角形和其命名 434
(一) 問題:三角形的命名怎麼教? 435
1. 角的分類 436
2. 三角形的分類(從角) 437
3. 三角形的分類(從邊、邊和角) 438
六、 四邊形和其命名 438
(一) 概念 438
(二) 問題 439
1. 正方形有沒有包括內部? 439
2. 為什麼長方形定義是四個直角的四邊形? 440
3. 正方形是不是(包含於)長方形? 440
七、 多邊形 441
八、 圓和扇形 443
(一) 概念 443
(二) 問題:扇形的弧可不可能是另一扇形的弧? 444
貳、 立體幾何 445
一、 面 445
二、 正方體和長方體 446
(一) 概念 446
(二) 問題 446
1. 先教平面幾何還是先教立體幾何? 446
2. 立體個物的推疊、滾動、觸摸的意義是什麼? 446
3. 大家看到的立體形體是一樣的嗎? 447
4. 平面化的正方體是什麼樣子? 447
三、 柱體 449
(一) 概念 449
(二) 問題 450
1. 如何記憶立體體形的構成要素及逆概念? 450
2. 圓柱有幾個邊?有幾個面?正方形有幾個邊? 450
四、 錐體 451
五、 球體 452
六、 視圖、透視圖和骨架圖 452
第二節 幾何的關係與性質 453
壹、 平面幾何 454
一、 兩條直線的關係及對頂角 454
二、 三角形 454
(一) 任意一個三角形的邊之關係 455
(二) 任意一個三角形的角之關係 456
(三) 任意一個三角形的邊和角之關係 458
(四) 特定三角形的性質與關係 458
(五) 三角形的包含關係 459
三、 四邊形 459
(一) 任意一個四邊形的角之關係 459
(二) 任意一個四邊形的邊之關係 460
(三) 特定的四邊形性質與關係 460
(四) 四邊形的包含關係 461
四、 多邊形 462
五、 對稱圖形 462
(一) 線對稱圖形 462
(二) 點對稱圖形 463
(三) 旋轉對稱圖形 464
(四) 問題 464
1. 黑白臉是不是(屬於)線對稱圖形? 464
2. 全等圖形、線對稱圖形、點對稱圖形有什麼關係? 465
3. 線對稱圖形的對稱軸有什麼關係? 465
4. 生活上與數學上的線對稱圖形問題 466
5. 判斷線對稱圖形時要不要判斷紙的外框? 467
6. 畫另一半的線對稱圖形的微觀認知如何? 467
7. 學生說圓形沒有對稱邊和對稱角怎麼辦? 468
六、 全等、放大、縮小、比例尺 469
(一) 概念 469
(二) 問題 470
1. 10公分縮小2倍是幾公分? 470
2. 為什麼學童對放大、縮小圖的角和面積關係有迷思概念? 470
3. 幾何證明的問題很難嗎? 470
貳、 平面圖形的周長與面積 471
一、 周長 471
(一) 簡單平面圖形的周長 472
1. 概念 472
2. 長方形的長和寬的定義是什麼? 472
3. 點與線段的長度問題,學生知道嗎? 473
(二) 圓周長、圓周率 473
(三) 扇形周長 475
二、 平面圖形的面積 475
(一) 正方形和長方形面積 475
1. 概念 475
2. 為什麼學童把面積和長度的概念混淆 476
3. 公分乘以公分等於平方公分,對嗎? 477
(二) 平行四邊形面積 477
(三) 三角形和梯形面積 479
(四) 問題 480
1. 學童怎麼想到要三角形的面積是平行四邊形面積的一半呢? 480
2. 面積公式對分數的邊也對嗎? 481
3. 小學生會算那些面積? 482
4. 邊長、周長、面積之間的關係 482
5. same A same B或者more A more B的迷思 483
6. 線段的面積是0,面是由線段累積來的 484
(五) 高、畫高 484
(六) 圓面積和扇形面積 485
(七) 複合圖形的面積 487
參、 立體幾何 489
一、 平行和垂直 489
二、 兩平面的夾角 490
三、 長方體、正方體 491
(一) 性質 491
(二) 問題 491
1. 長方體的側面是什麼形? 491
2. 有沒有平行和垂直? 492
3. same A same B或者more A more B的迷思 492
四、 柱體和錐體 493
五、 凸多面體 493
六、 柱體和錐體的展開圖 494
七、 球體 495
肆、 立體幾何的總邊長、表面積與體積 495
一、 總邊長 495
二、 表面積 496
三、 體積 497
伍、 van Hiele幾何認知層次 499
一、 第0層次 – 視覺期(Visualization) 499
二、 第一層次 – 分析期(Analysis) 499
三、 第二層次 – 非形式演繹期(Informal Deduction) 500
四、 第三層次 -- 形式演繹期(Formal Deduction) 500
五、 第四層次 – 嚴密性(Rigor)或公理性(Axiomatic) 501
六、 問題 501
(一) 視覺期到分析期要注意什麼事? 501
(二) 從分析期到非形式演繹期要注意什麼? 503
(三) 國中幾何問題的證明為什麼那麼難? 505
(四) 非形式演期以上 506
(五) 幾何形體的說、讀、聽、寫、做 506
第三節 幾何的教學 506
壹、 平面幾何 506
一、 總說 506
二、 示例:三角形的性質 507
(一) 教學目標 507
(二) 設計理念 507
(三) 教材分析 507
(四) 學生先備知識 507
(五) 主要活動 507
1. 準備活動 507
2. 發展活動 508
3. 綜合活動 510
三、 平行四邊形面積 510
(一) 教學目標 510
(二) 設計理念 510
(三) 教材分析 510
(四) 學生先備知識 510
貳、 立體幾何 514
第四節 107年課綱分年學習內容--幾何 515
第五節 參考文獻 516
第八章 統計(Statistic) 517
第一節 統計的概念 517
壹、 描述統計和推論統計 517
貳、 統計圖與統計表 517
一、 統計圖表的名稱 518
二、 次數、相對次數、累積次數、累積相對次數 520
參、 集中數量 524
一、 算術平均數(Mean) 524
二、 中位數(Median)或者中數 525
三、 眾數(Mode) 526
四、 百分位數(percentile) 526
五、 百分等級(Percentile Rank ,簡稱PR值) 527
六、 四分位數(quartiles) 528
七、 性質:資料的平移或放大 528
肆、 離散數量 528
一、 全距(Range,R) 528
二、 四分位距(interquartile range, IQR) 529
三、 變異數(variance)與標準差(standard deviation) 529
四、 性質:資料的平移或放大 530
第二節 統計的相關問題 530
壹、 學童初學資料分類、統計的學習需求 530
貳、 統計表可以畫出什麼樣的統計圖? 531
參、 統計圖表的說、讀、聽、寫、做是什麼? 532
肆、 閃亮之星是幾點到幾點播出? 532
伍、 什麼是統計圖表的報讀和解讀? 534
陸、 為什麼統計圖會騙人? 535
第三節 統計概念的教學 536
第四節 107年課綱分年學習內容--統計 537
第五節 參考文獻 537
第九章 關係與代數(Algebric) 539
第一節 關係與解題 539
壹、 數量關係 539
一、 和差積商不變 539
二、 數形規律 540
三、 數量關係的學習 540
貳、 怎樣解題 540
一、 雞免同籠問題 541
(一) 正向問題與解答 541
(二) 逆向問題與解答 541
1. 嘗試錯誤 542
2. 有規律的嘗試錯誤 542
3. 從有規律試錯誤中找到推理方法 543
4. 連結代數方法 543
(三) 有數學感的教與學 544
(四) 逆概念的再延伸 545
(五) 結論 546
二、 植樹問題 546
三、 數形規律問題 547
四、 年齡問題 548
第二節 代數的概念 549
壹、 以文字符號代表數 549
貳、 變數和未知數 550
參、 如何給與學童代數的感覺? 551
第三節 代數的四則運算 551
壹、 代數與數 552
一、 概念 552
二、 問題 552
(一) 為什麼學生會誤解 的意思? 552
(二) 為什麼學生會認為2+3x=5x? 552
(三) 6÷2(1+2)=? 553
貳、 代數與代數 554
參、 算術思維與代數思維 554
肆、 算術思維到代數思維的過渡 556
一、 從具體的數字到抽象的代數符號 556
(一) 改變解題思維動向,亦即能對「待解的已定數」作運算 556
(二) 解法跳脫題目所給的情境或數字,而聚焦在一般性的解題方法 556
(三) 保留運算的程序或結構 556
(四) 擴展了運算的客體範疇 557
二、 從特殊化到一般化(抽象化、去情境化) 557
三、 從程序性到結構性 557
第四節 代數的性質 558
壹、 反身性、對稱性、遞移性 558
貳、 結合律、交換律、分配律 558
參、 等量公理的相關概念 558
一、 等量公理與移項法則 558
二、 加減互逆和乘除互逆 559
三、 問題 560
(一) 有沒有符合等量公理? 560
(二) 若x=x,則 是不是運用等量公理? 560
(三) 加減(乘除)互逆是對加(減、乘、除)數來運算 560
(四) 國小學童沒學過負數 561
第五節 代數的教學 561
壹、 代數的學習動機 561
貳、 兩步驟算術式和代數式的差異 562
參、 如何從算術思維過渡到代數思維? 562
肆、 小學代數的教學範圍到那裏? 564
第六節 107年課綱分年學習內容--代數 564
第七節 參考文獻 565

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