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東亞第一本微積分課本（The First Calculus Textbook in East Asia）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 中國清朝數學家李善蘭 (1811-1882) 在 1859 年與英國傳教士偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合作，翻譯了羅密士 (Elias Loomis, 1811-1899) 的 Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus (1850)，中譯版書名命為「代微積拾級」(*)，強調本書依序講述「代（數）」（解析幾何）、「微（分）」與「積（分）」，「拾級」而上。 ----- 事實上，李善蘭在譯序中即指出：「羅君密士合眾之天算名家也。取代數、微分、積分三術合為一書，分款設題，較若列眉，嘉惠後學之功甚大。……是書先代數次微分、次積分，由易而難，若階級之漸升。譯既竣，即名之曰代微積拾級。」 
此外，偉烈亞力也在譯序中，點出此書中譯的脈絡意義：「微分積分，為中土算書所未有，然觀當代天算家，如董方立氏、項梅侶氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顧尚之氏，暨李君秋紉，所著各書，其理有甚近微分者，因不用代數式，或言之甚繁推之甚難，今特偕李君譯此書，為微分積分入門之助。」 上引文提及之天算家依序為董祐城、項名達、徐有壬、戴煦、顧觀光以及李善蘭，都是十九世紀中國清代數學名家。不過，他們的共同「不足」，顯然如偉烈亞力所說的，由於「不用代數式」，因此，才會顯得「言之甚繁，推之甚難」，從而可見解析幾何這一理論系統的不可或缺。 這或許也解釋了何以偉烈亞力推薦此書之中譯，因為本書之前九卷，即是解析幾何之內容，而這當然是微積分的先備知識。不過，在本書中，英文原文中的 analytical geometry（解析幾何）一概翻譯為「代數幾何」。 其次，微分有七卷（卷十到十六）。其中，羅密士主要運用微係數 (differential coefficient) 來表示我們今日所謂的導數 (derivative)：「函數與變數之比例，俱謂之微分，用ㄔ號記之。如戌 = 天三，則得比例ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二。ㄔ天、ㄔ戌為天與戊之微分。後皆仿此。用表天與戌之變比例，以一、四兩率相乘，二、三兩率相乘則得ㄔ戌 = 三天二ㄔ天，此顯函數戌之變比例，等於三天乘變數天之變比例，以ㄔ天約之得ㄔ天/ㄔ戌 = 三天二。此顯變數之變比例約函數之變比例，等於函數之微係數也。」 上述引文有必要解釋或註解一下。李善蘭與偉烈亞力將函數 u=f(x) 中的 u 記作戌，x 記作天；u=x3 記作戌 = 天三；微分記號 d 「翻譯」為漢字記號ㄔ，顯然他擷取了「微」字的部首「ㄔ」。因此，「ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二」即相當於「dx:du=1:3×2 」。還有，由於當時的分數之分子、分母之位置，恰好與目前習慣相反，亦即分子置於下，分母置於上，於是，du/dx 才會譯為ㄔ天/ㄔ戌。 根據上述引文，針對任何一個函數 y=f(x) 而言，羅密士先求出 dy=f(x)dx ，然後，再得到 dy/dx＝f(x) 。如此一來，他可以避開導數之定義中，[f(x+h)−f(x)]/h 之分子與分母同時趨近於零的論證難題。後者不待外爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）所領導的柏林學派之分析算術化 (arithmetization of analysis)，而提出極限的 ε−δ 定義，是無法解決的。在1872年，外爾斯特拉斯的徒弟漢內（Heine）在老師的上課筆記中，總結了微積分理論的嚴密化工作。 羅密士擁有LL. D（法學博士），出版這一本教科書時，正擔任紐約市立大學的數學與自然哲學教授 (Professor of Mathematics and Natural Philosophy, the University of the City of New York)。不過，當時美國仍然是國際數學社群的邊陲地帶，大學教師的主要著作都是類似微積分這種大學教科書。 儘管如此，本書英文原著迄至1859年為止，已經出版到第10版，足見它相當受到大學教師的青睞。羅密士也承認本書「並非為了數學家、也不是為了那些擁有特殊天分或是數學的愛好者，而是為廣大中等資質的大學生而寫。」這或許也是本書英文原版暢銷的原因之一吧。其實，就今日標準而言，本書除了例題比較「老套」之外，體例與內容還是蠻適合充當非數學、物理主修的大學生之微積分教材。 本書還有一個特色，那就是：相對於七卷的微分內容，積分只有兩卷！〈積分一總論〉一開始內容如下：「積分為微分之還原，其法之要在識別微分所由生之函數，如已得天二之微分為二天ㄔ天，則有二天ㄔ天即知所由生之函數為天二，而天二即為積分。已得微分所由生之函數為積分，而積分或有常數附之，或無常數附之，既不能定，故式中恆附以常數，命為口丙，口丙或有同數或為 0 ，須攷題乃知。來本之視微分若函數諸小較之一，諸小較并之，即成函數，故微分之左係一禾字，指欲取諸微分之積分也。如下式 禾二天ㄔ天 = 天 + 口丙。來氏說，今西國天算家大率不用，而惟用此禾字取其一覽了然也。」 在上述引文中，李善蘭與偉烈亞力將Leibniz翻譯為「來本之」，同時，積分記號 ∫ （一個拉長的S）則譯為「禾」，它取自「積分」的積字之偏旁部首「禾」。羅密士指出：儘管「今西國天算家大率不用」「來氏說」(philosophy of Leibniz)，「而惟用此禾字」，「取其一覽了然也」。在這個脈絡中，羅密士未曾獨立地定義定積分 (definite integral)，而是通過不定積分 (indefinite integral) 來定義，這省掉了定義定積分的麻煩，值得稱道。
參考書目 - Horng, Wann-Sheng (1991). Li Shanlan: The Impact of Western Mathematics over China in the late 19th Century. Ph. D. Thesis, City University of New York.
- Loomis, Elias (1859). Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus. New York: Harper & Brothers, Publishers.
- 羅密士撰（偉烈亞力口譯，李善蘭筆述）(1859).《代微積拾級》，上海：墨海書館。
- http://ch.catholic.or.kr/pundang/4/cb/1810-1882_%EC%9D%B4%EC%84%A0%EB%9E%80/%E6%9D%B1%E4%BA%9E%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%9C%AC%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E8%AA%B2%E6%9C%AC.htm
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