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數學教師知識庫
『數學教學專業標準』
SC01. 了解學生的宏觀認知發展理論
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該用戶目前不在線 李源順 ::論壇管理員::

等級: 博士生
文章: 338
積分: 915
存款: 0
來自: 北市師
(會mail給李源順)

標準說明
*教師能了解有關學生的認知發展的宏觀相關理論,這些宏觀的理論(學生需要花較長的時間才能提升到另一個層次的理論,例如,皮亞傑認知發展理論與van Hiele的幾何認知發展理論(下載)等)與有助於教師在教學脈絡中掌握大多數的學生、學習狀況較佳的學生、以及較差的學生的學習方式和認知方式,有助於教師使用適當的教學方式,提升所有學生的學習。
*例如,皮亞傑認知發展理論,可以讓老師了解大多數的低年級學生學習需要具體操作,高年級的學生已慢慢進入形式運思,大多數的問題用圖像表徵已能了解。
*例如,van Hiele的幾何認知發展理論,可以讓老師了解大多數低年級學生在學習幾何形體時是從日常生活經驗入手,高年級學生要了解分析幾何形體的性質,甚至要慢慢了解性質間的關係,進行邏輯推理。(資料下載)

達成指標
修讀或進修過相關課程,或能呈現已學習有關學生認知發展的宏觀理論的相關資料。佔50%
*能主動或被動展現對學生認知發展的宏觀理論的了解。佔30%
*能主動或被動展現有關學生認知發展的宏觀理論的理由。佔20%
◎註:相關課程:例如,兒童數學概念發展...等相關課程。

*具專家教師資格要達成的指數(0%~100%):____%
*具輔導教師資格要達成的指數(0%~100%):____%
*具合格教師資格要達成的指數(0%~100%):____%
*具實習教師資格要達成的指數(0%~100%):____%


[該文章於2006/8/19 上午 08:59:23被李源順編輯過]


 
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阿順

發貼時間:2006/4/19 下午 02:44:00 IP:59.104.*.*
該用戶目前不在線 高伊蓮

等級: 二年級
文章: 2
積分: 6
存款: 0
來自: 你猜猜
(會mail給高伊蓮)
在『國小教師數學教學專業之能標準』調查,P14『學生認知』一文中,提及Van Heile的幾何認知發展理論;我對於這個理論只有聽過,不是很瞭解,以下這一篇補充文章是搜尋後找到的資料,是關於Van Heile『平面圖形教材的處理』,提供大家做參考。

網路資料
作者:劉 好 國立台中師範學院數理教育學系
網路出處:::URL::http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s3high/s303.htm

 
劉 好 國立台中師範學院數理教育學系
摘要
國小數學課程「圖形與空間」的教材領域,包括「平面圖形」與「立體圖形」兩部分。本文以「平面圖形」中高年級部分為主,說明實驗課程在這方面的教材與教法的處理方式。首先簡要介紹本課程在圖形與空間教材發展上所依據的學習發展理論--van Hiele夫婦所提出的五個發展層次,以及小學數學課程標準中平面圖形部分的課程綱要,做為有關部分說明之對照。其次,簡單說明低、中年級部分的處理情形,最後就高年級的平面圖形範圍較詳細的介紹。
在高年級部分,先就各項教材的基本概念加以描述,再說明實驗教材所強調的重點及處理的原則。 
 
壹、前言
圖形並非實際存在的東西,它是附著於具體存在的物體上,從具體實物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小、…等特性之抽象結果。簡單地說,它僅是指實物外觀的樣子。我們最常接觸的是立體的圖形。平面圖形是將具體物的表面拓印出來的結果,通常透過立體圖形的面來辨識。小學階段的圖形教材,包括平面圖形與立體圖形,本文僅就小學數學科新課程實驗教材中平面圖形部份的處理方式加以說明,並特別強調高年級階段的部份。首先簡要說明兒童幾何概念的發展特徵,以及低、中年級階段的教材內容與大致引導方式,再就高年級部份較為詳細的介紹。
貳、兒童幾何概念的發展
近年來世界先進國家( 如美國、俄國 )大都以荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次,每個層次均有其發展特徵。本次實驗教材之設計亦以此理念為根據,略述其特徵如下:
第O層次--視覺期(Visualization)
此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物,以實物的整體輪廓來辨認圖形,在視覺下差異不大的圖形,他們可以透過移動旋轉等方式辨識,可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀,如像門的形狀為長方形,像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」,但不能瞭解其真正定義。因此,這階段的學童宜多安排感官操作的活動,讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。
第一層次--分析期(Analysis)
此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形,並且可以利用實際操作(如摺疊、尺量,以格子觀察或設計特別的圖樣)的方式,發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗,能察覺到長方形有四個邊,四個角,且有兩個長邊,兩個短邊,對邊相等,但不能解釋性質間的關係,如知道菱形是四邊相等,對角線互相垂直平分的四邊形,但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義,但不易精簡描述的過程。此階段的學童,宜安排一些製作及檢驗的活動,使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。
第二層次--關係期(Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)
此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形間的包含關係,如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形,而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在了解圖形內在關係後,可以建立長方形是平行四邊形的一種;平行四邊形中,有一個角為直角時,此四邊形即為長方形;可以知道n邊多邊形的內角和為 (n-2)180度等概念。
第三層次--形式演繹期(Formal Deduction)
達此階段者,能用演繹邏輯證明定理,並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論,他們不只是記憶圖形的性質,而且能夠證明,並了解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係,發現正逆命題間的差異性。例如:能了解正五邊形邊長均相等,內角亦均相等,但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。
第四層次--嚴密性(Rigor)或公理性(Axiomatic)
達此階段的人,可以在不同的公理系統中建立定理,並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異,也可了解抽象推理幾何,甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到,即使是以數學為專業者亦不易達成。
根據 van Hiele 研究顯示,上述五個層次有其次序性,學習者需擁有前一層次的各項概念與策略,才能有效進行下一層次的教學活動。同時,亦由於教材內容屬性的差異,會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期,故其對幾何圖形的了解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較,經過無數次具體經驗,使其在視覺層次具備豐富經驗後,始能循序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層,高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。
參、國小數學課程標準中平面圖形的教材綱要
根據民國八十二年教育部頒布的課程標準,數學科之「圖形與空間」領域內的「平面圖形」大綱如下:

年 
級  ◎複製實物的面,分辨出類似三角形、四邊形及圓形等圖形板的形狀
◎觀察實物與圖形,辨別直線與曲線
◎利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形 


級  ◎利用圖形板,拼排圖形,數出各圖形的數量
◎利用相同的數量,全等的圖形板,拼排不同形狀的圖形
◎利用不同的數量,全等的圖形板,比較圖形的大小
◎透過摺紙、剪紙、鏡射等活動,觀察線對稱的現象
◎利用以公分為刻度單位的直尺,畫出指定長度的線段 

 

 
級 ◎透過製作的活動,瞭解三角形、四邊形的構成要素:角、邊、頂點及其個數;並認識周界及周長
◎做出或畫出滿足部分條件(指定一邊或二邊的長度,周長或一些頂點)的三角形或四邊形
◎透過摺紙製作直角,並在生活情境或圖形中辨認直角
◎利用直角,瞭解長方形、正方形、直角三角形的特性
◎角的初步概念 

 

 
級  ◎使用量角器量角度及畫角
◎透過製作的活動,瞭解等腰三角形、正三角形的特性,並作圖
◎透過製作的活動,瞭解圓心、半徑、直徑、圓周
◎透過直角認識直線的垂直與平行
◎由邊長的相等或垂直與平行的觀點,把四邊形分類並命名,由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形
◎圓規的使用 


級  ◎透過圖形的疊合,認識全等的多邊形
◎透過實測活動,認識圓周率


級  ◎透過操作活動,認識線對稱圖形
◎透過操作活動,瞭解縮圖與擴大圖的關係
◎瞭解比例尺的意義及表示方法,並應用於地圖的閱讀 
從教材綱要中可看出低年級階段以觀察、複製實物的形體與表面,分辨平面圖形的形狀特徵,認識簡單的平面圖形,再利用圖形板與各種積木拼排圖形為主。中年級以製作活動,瞭解各種形狀的構成要素及其間的關係,並能使用簡單的畫圖工具為主。高年級則透過操作與觀察,以瞭解圖形間的關係,並能做簡單的應用為主。
肆、低中年級平面圖形教材的設計要點
本文重點放在高年級教材處理方式的說明,但各年級教材的設計是具連續性的,因此,先就低、中年級階段的平面圖形教材設計情況簡要說明如下:
低年級
此階段的兒童屬於van Hiele 幾何思考的視覺階段,故教材的設計乃從視覺與觸覺等感官活動為起點,透過具體物的操作以達成教學目的。
(一)一年級第一階段
1.透過積木及實物的造型活動,經驗平面與非平面的區別。
2.透過描繪實物的表面,分辨三角形、長方形、正方形和圓形等形狀。
3.透過說、讀、聽、做等練習,加強三角形、正方形、長方形和圓形等術語與圖卡、書空、…等符號的聯結。
4.透過塗色活動,加強學生對三角形、長方形、正方形和圓形等平面圖形的認識。
(二)一年級第二階段
1.在有背景或其他圖形之下辨認三角形、正方形、長方形和圓形等圖形。
2.透過觀察及套描等活動,知道圖形板與其外框是同形狀。
3.在釘板上用橡皮筋圍出圖形。
4.用兩塊全等(形狀、大小一樣)的色板拼出一個圖形。
5.經驗一個圖形可由兩塊一樣的圖形所構成。
6.用一些三角形、正方形或長方形拼成一個指定的圖形。
7.由實際的拼排,經驗一個圖形可由幾個全等的圖形所構成。
(三)二年級
1.透過各種疊合方式(自一堆圖形中找出、將圖形剪下、將圖形描出等)認識全等圖形。
2.透過摺紙、剪紙的活動觀察、經驗對稱的現象。
中年級
數學實驗課程強調「概念是解題活動過程的抽象」的觀點設計教材,此時的兒童已開始注意到多邊形的構成要素,於是讓兒童透過要素抽離的實際活動來認識圖形的構成要素,同時也提供抽離的反向活動,從要素建構圖形。
(一)三年級第一階段
1.嘗試描繪三角形、四邊形,並說明其畫法或描法。
2.就三角形、四邊形的邊、頂點、角嘗試加以命名,並探討共同約定名稱的需要性,引出約定成俗的稱呼。
3.複製三角形、四邊形的構成要素:頂點、邊和角。
(二)三年級第二階段
1.觀察具有如摺扇兩邊之直線段交於一點的實物兩邊之張合現象所形成的角,並和圖形板上的角相聯結。
2.進行角的直觀、直接及間接比較。
3.由正方形、長方形上的角認識直角,並嘗試摺直角。
4.辨識圖形板上的直角。
(三)四年級第一階段
1.由製作活動建立垂直與平行的概念,並嘗試畫圖。
(1)由利用竹籤製作長方形的討論中,知道「垂直」的意義及用語,並畫垂直線。
(2)由利用摺直角的方法摺出平行線的討論中,知道「平行」的意義及用語。
(3)嘗試畫平行線。
2.由辨認及製作活動增進圓的概念及其構成要素的認識。
(1)由一些類似圓的圖形中,辨認圓形與非圓形。
(2)透過畫、描、剪、摺圓的活動,認識圓周、圓心、半徑和直徑。
(3)透過圓規畫圓的活動,加深圓周、圓心和半徑的概念及關係。
3.由製作進行四邊形的分類及命名,利用竹籤做出四邊形,進而由邊的等長、平行諸特性認識菱形、平行四邊形、箏形、梯形。
(四)四年級第二階段
1.由製作活動瞭解等腰三角形、正三角形的特性
(1)利用各種長度的吸管圍三角形,並經驗不能圍成三角形的情形。
(2)進行等腰三角形和正三角形的命名活動。
2.利用三角板、吸管、直尺、量角器畫直角三角形、等腰三角形和正三角形。
伍、高年級平面圖形教材的處理
此階段的學童幾何概念發展程度,大都已進入van Hiele幾何發展層次的分析期,有一部份已逐漸進入非形式演繹階段。他們能注意到圖形組成要素的特性,可以利用構成要素造出圖形,並能歸納一些圖形的共同特徵。數學新課程之實驗教材配合學童的這些特性,採取製作生成的觀點處理這階段的教材。
一、多邊形與其對角線的概念
(一)基本概念
多邊形:由三個邊或三個以上的邊圍成的簡單封閉平面圖形之通稱,如三角形、四邊形、五邊形、…皆是多邊形。各個內角皆小於180 度的多邊形(或說成:連接多邊形內部或邊上的任意兩點之直線段皆包含於此多邊形中),稱為凸多邊形(見圖一);各個內角中,至少有一個角度大於180度的多邊形,稱為凹多邊形(見圖二)。
 
(1) (2) (3) (1) (2) (3)
圖一:凸多邊形 圖二:凹多邊形 
對角線:連接多邊形上不相鄰的頂點的直線段。
三角形是多邊形中最基本的圖形,三個頂點中,任意兩個頂點皆相鄰,故無對角線。四個邊以上的多邊形,其上任一頂點至少會和其上的一個頂點不相鄰,故皆有對角線。多邊形的邊數越多,則其不相鄰的頂點數也越多,因此對角線的個數也隨著增多,四邊形有兩條,五邊形有五條,六邊形則多達九條。
(二)教材處理方式
1.透過多邊形的製作認識多邊形。
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教材設計時,從製作的觀點出發,先給一些有相同長度及有不同長度的吸管,讓兒童自行選取適當個數,圍出三角形、四邊形、五邊形和六邊形,再由兒童依其在三角形、四邊形的命名經驗,引出五邊形、六邊形、…等的命名,並綜合這些圖形共同特徵 有許多的邊,引出多邊形的通稱。 
2.透過圖形全等邊之拼合及不相鄰的對角分割(連線),認識多邊形的對角線。
此處的教材設計,僅就多邊形的對角線利用適當的圖形拼合與分割經驗,引出其意義,並就其意義在所給的多邊形上嘗試描繪出幾條對角線。因此時的學童才初步認識對角線,尚無法理解推算一個多邊形對角線個數的方法,所以除了四邊形和五邊形外,其他多邊形的對角線,僅就學童所能察覺的情況畫出幾條即可,並不要求窮盡畫出一個多邊形的所有對角線。
二、多邊形的全等、內角和及正多邊形概念
(一)基礎概念
1.全等對應
當兩個圖形間存在一種頂點、邊和角的對應關係,將這兩個圖形互相對應的部份相疊,如果可處處疊合,這種對應稱為全等對應。當兩個圖形間可形成全等對應時,這兩個圖形就是全等圖形,其對應邊相等,對應角也相等。反之若兩個圖形全等,則其構成元素間必可形成一種全等對應關係。因此,若已知兩個圖形間具有全等對應關係,便可以不必經由操作方式將圖形疊合來判斷兩圖是否全等。
2.多邊形的內角和概念
多邊形的內角和以三角形內角和為基礎,因此,討論多邊形內角和之前應先探討三角形內角和。三角形的內角和有許多觀察方式,例如:
 (1)剪拼法:保持三個角的角度不變,將三角形的三個角剪(撕)下,使頂點相疊,以邊靠邊的方式拼合(如圖三),由此結果可看出合成的角之外面兩邊成一直線,因而得知三角形之內角和是180度。
(2)測量法:利用量角器分別測量三角形的三個內角之角度,再算出三個角度的和。
 (3)長方形對角線分割法:已知直角之角度為90度,長方形的四個角皆為直角,可算出其四個內角和為360度。將長方形以對角線分割成兩個全等的直角三角形,或以兩個全等的直角三角形拼成一個長方形之方式,可推知直角三角形的內角和是180度。再分割任意三角形成兩個直角三角形,便可推知任意三角形的內角和為180度(見圖四)。
圖四:長方形對角線分割法推斷三角形內角和
(4)利用平行線的內錯角或同位角關係推得。
小學階段的學童大都還不能理解第(4)種推理證明方法。
3.正多邊形概念
三角形和其他的多邊形性質有一點不同,即它有「大邊對大角,等邊對等角」之特性,四個邊以上的多邊形則沒有這個性質。四個邊以上的多邊形需具備下列定義之條件,才稱為正多邊形。
正多邊形:各個邊皆等長,且各個內角皆等大的多邊形。
正多邊形為具有與其邊數相等個數的對稱軸之線對稱圖形,其所有的對稱軸皆相交於一點,此點稱為多邊形的中心,中心到多邊形頂點的直線段可將此多邊形分割成數個相等的等腰三角形。若以其中心為圓心,以中心到此多邊形的頂點之距離為半徑,可以畫出此正多邊形的外接圓。利用這個特性可較方便的畫出正多邊形。
(二)教材處理方式
1.以兩個全等圖形的疊合建立構成要素的全等對應概念。
實驗課程在五年級階段的活動設計中,先引導學童複習疊合法,觀察全等現象後,引出頂點、邊和角的對應關係,再引導學童利用全等對應關係判斷兩個圖形是否全等。
2.由拼湊三角形的三個內角、長方形的對角線切割及任意三角形分割成兩個直角三角形策略,引出三角形內角和特性。
數學實驗課程在中年級階段,已建立學童由兩個直角三角形拼成一個長方形、直角的角度是90度、角的兩邊成一直線狀態時其度量為180 度及將多邊形分割成多個三角形的正逆思考與操作經驗。於是高年級階段以這些經驗為基礎,引導學童探討直角與任意多邊形的內角和。首先採開放的方式,由兒童利用其舊經驗,以量角度、將角剪下拼排、…等方式思考操作觀察,計算出三角形三個角度和大約為180度,再利用兩個全等的直角三角形拼成長方形,或將長方形沿對角線分割成兩個全等的直角三角形的方法,確認直角三角形的內角和為180度。進一步利用將任意三角形分割成直角三角形的方法,推出任意三角形內角和為180度。
3.透過對角線分割多邊形成為多個不相交的三角形(或多邊形),引出多邊形內角和求法。
在學童明白三角形內角和特性後,接著以三角形內角和是180度的基礎知識,利用對角線分割多邊形成為數個不相交的三角形之方式,導出多邊形內角和的求法。
4.透過邊和角的條件形成正多邊形概念。
數學實驗課程先於五年級上學期引出多邊形概念,等兒童對其相關概念較清楚熟悉之後,於五年級下學期再引出正多邊形概念。首先讓學童針對三角形和正方形從邊與角兩種構成要素分析,引出三邊等長且三個角等大的三角形稱為正三角形,四個邊等長且四個角等大的四邊形稱為正方形(正四邊形)。再從這些經驗出發,探討是否也有正五邊形和正六邊形。起初讓學童嘗試製作等邊五邊形及六邊形,觀察其各種形狀,再引導其調整各個角之角度,使其盡可能成等角之形狀,分別引出「正五邊形」及「正六邊形」之名稱。然後綜合正三角形、正方形、正五邊形、…等之等邊且等角的多邊形,稱為「正多邊形」,使兒童清楚地獲得正多邊形的概念。其次,以這些經驗為基礎,利用連續畫等邊及等角的策略,經驗正多邊形的畫圖。
三、尺規畫圖
(一)畫圖之基本概念
1.古希臘時代尺規作圖的意義
古希臘時代尺規作圖有如下的規定:
(1)任意取兩點,可用無刻度的直尺連出一條直線,兩端並可任意延長;
(2)在平面上取一點,任取一個長度作半徑,可利用圓規畫一個圓;
(3)可在有限個這樣的步驟下完成所欲畫出的圖形。
在這樣的規定下,可以利用直尺畫出任意長的線段,也可利用圓規和直尺畫出任意的三角形、長方形、…等圖形。
2.小學階段之幾何作圖
小學階段的幾何作圖,並非標準的尺規作圖,而是輔以有刻度的直尺、量角器和圓規,畫指定長的線段、量角度或畫圓。具備相當經驗之後,才引導其畫滿足特定條件的圖形。例如:兒童用圓規畫圖時,要能察覺圓規兩腳尖的距離相當於此兩腳尖鎖定兩點連出的直線長,才能將其靈活運用於截特定長度的線段,或利用其定出距離相當於給定長度線段的兩端點之位置,用其畫已知邊長的三角形;要能明白畫圓弧時,其半徑就是已知某線段的長。兒童若明白取給定邊長為半徑,某一線段的兩端點為圓心,畫出兩個相交的圓,把圓的交點和兩個圓心分別用直線連接後即得一個三角形,這個三角形的三邊長即合乎所給的已知條件,才能利用圓規畫圓弧的方式畫三角形。又如學童能以等分圓的方式畫正多邊形之前,必須明白兩者之間的相關概念及關係。瞭解這些關係後,才能嘗試經由這些關係的反向運思,以一個圓的圓心為頂點,圓的半徑為圓心角的邊,將周角分成數個等大而內部不重疊的圓心角,把圓分成數個等大的扇形,再依序連出各扇形的弧相鄰之端點所定之直線段使成為多邊形的邊,由這些邊圍出一個正多邊形。
(二)教材的處理方式
1.先建立用圓規畫圓弧及截線段的經驗,再利用圓規和直尺畫特定的三角形。
實驗教材在中年級階段,曾分別引導學童用直尺畫三角形、四邊形及垂直或平行線段,以及用圓規畫圓。高年級階段,先讓兒童利用圓規經驗分直線段的方法和理由,畫圓弧和用直尺畫直線段,使其具備較豐富之畫指定邊長的三角形之前置經驗,嘗試截等長線段。兒童察覺畫圖的要領後,再讓其畫出指定邊長的三角形,這階段的作圖方式並非上述所嚴格限制下的尺規作圖。
2.先以等邊與等角的概念利用直尺和量角器經驗正多邊形的畫圖,再利用正多邊形的外接圓與等分周角(圓心角)概念畫正多邊形。
數學實驗課程在這部分的處理方式,第一階段採開放的作圖方式,以兒童對正多邊形的認識經驗為基礎,利用連續畫等角及等邊的策略,以直尺與量角器經驗正多邊形的畫圖。於學童對正多邊形有相當的熟悉程度後,才進行第二階段引導學童察知正多邊形與圓的關係,利用多邊形的對稱性,將正多邊形取摺線通過頂點的方式進行多次對摺,觀察圖形的對稱性及各條摺線將正多邊形分割後的特徵,並建立其對正多邊形和它的外接圓的關係之認識。使學童形成以等分圓畫正多邊形的先備概念,再利用圓規和直尺以等分圓周的方式嘗試畫正多邊形。
四、四邊形的包含關係
(一)特殊四邊形的性質關係
四邊形一般依其結構的特性將其分為梯形、平行四邊形、長方形、菱形、正方形、…等。各類別間有些尚有部份共同的特性。例如:
1.四個角皆相等(皆為直角)的四邊形,一般稱為長方形或矩形;當其四個邊等長時又稱為正方形。
2.兩組對邊分別平行的四邊形,一般稱為平行四邊形;當其四個角皆相等時又稱為長方形;當其四邊等長時,又稱為菱形。
3.菱形中,四個角等大時又稱為正方形。
依集合的觀點,以上的各類圖形可以形成下列的關係:「正方形集合包含於長方形集合」、「正方形集合包含於菱形集合」、「長方形集合包含於平行四邊形集合」及「菱形集合包含於平行四邊形集合」。
小學階段的學童對於集合包含關係的這種抽象概念,大都還無法充分的瞭解,因此還不宜以抽象的方式來探討。 
(二)教材的處理方式
數學實驗課程的設計,自低年級開始就讓學童逐步經驗四邊形的結構關係。中年級階段,透過邊和角的條件限制,進一步讓學童察覺到一些特殊四邊形的共同特徵。五年級下學期時,從以上的基礎出發,利用具體操作觀察的方式,再深入探討一些四邊形間的包含關係。
1.利用角度固定,改變一組對邊長,觀察長方形與正方形、平行四邊形與菱形的關係。
(1)長方形包含正方形
 
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首先讓學童自一些四邊形的圖形(或圖卡)中找出四個角都是直角的四邊形-含長方形和正方形,再以長方形紙卡套入與其等大(以紙卡恰好能放入為原則)的長方形信封中,將紙卡緩緩抽出,使露出的圖卡部分先呈長方形,然後逐漸形成正方形,接著又呈長方形(見圖五),由此過程引導學童觀察討論所看到的圖形邊長及形狀的改變狀況。在觀察討論的過程中,當抽出的部分呈正方形時,提出如「這樣的形狀是否為長方形?」之問題以供討論,使察覺二者之關係,從而獲得正方形也是長方形的一種圖形之概念。 
(2)平行四邊形包含菱形
 如同長方形包含正方形的情況,先自各種四邊形中找出有兩組對邊平行的四邊形,再仿上述長方形信封裝入圖卡的方式(見圖六),此時的圖卡改為平行四邊形(或使欲拉出的一邊與其相鄰的兩個平行邊的交角不呈直角即可),拉出圖卡討論各階段圖卡拉出的形狀,當拉出部分呈菱形時,則提出「這是平行四邊形嗎?」的問題,供學童討論,以獲得菱形也是平行四邊形的概念。
2.利用邊長固定,改變角度的方式,觀察菱形與正方形、平行四邊形與長方形的關係
(1)菱形包含正方形
先自各種四邊形中找出四邊等長的四邊形,其中包含菱形和正方形,再利用邊等長且端點連在一起之框架,連續改變其角度,觀察框架所圍住之形狀的變化情形。當鄰邊調整成直角時,提出「這是菱形嗎?又可怎麼稱呼?」之類的問話,供學童討論,以得知正方形也是菱形。
(2)平行四邊形包含長方形
同(1)之過程,先自各種四邊形中找出兩組對邊平行的四邊形,其中包含平行四邊形和長方形,再利用平行四邊形框架仿(1)之操作過程,改變其夾角之角度,引導學童討論,當角度改變至鄰邊呈直角時,則提出「這是平行四邊形嗎?又可怎麼稱呼?」之類的問話,使學童經由進一步的討論,體認長方形也是平行四邊形。
由於此時大部份的學童尚無法瞭解集合間的包含關係,因此,僅要求學童能察覺到一些特殊四邊形的特定關係,尚不引出「集合」、「包含」或「包含於」等術語,以及不做整個四邊形集合與特殊四邊形集合間的包含關係的歸納。
五、線對稱和點對稱
線對稱圖形和點對稱圖形是兩種較為特殊的幾何圖形,人們常利用其結構的對稱性較有效地製作物件或圖案。下面先就其概念及畫圖要點簡要說明,再描述數學實驗課程之處理方式。 
(一)線對稱的概念和畫圖
1.線對稱的意義 
操作型定義(直觀的概念):
若一個圖形可沿著某一直線對摺,使其在直線兩側的部分完全重合,這種圖形稱為關於此摺線的對稱圖形,簡稱為線對稱圖形。
幾何上的意義:
一個圖形,若可以找到一條直線將其平分成兩半,使在其中一半內的任何點,都可以在另一半內找到一個對應點,使得這互相對應的點所連成的直線段,恰被平分此圖形的直線垂直平分,這個圖形即為一種線對稱圖形。
線對稱圖形中,將圖形平分成可重合的兩半之直線,稱為其對稱軸。分別在對稱軸之兩邊的兩點,若其連成之直線段恰好被此對稱軸垂直平分,這兩個點稱為關於此對稱軸互相對稱的點,一般常簡稱為對稱點。若將圖形對摺時,分別在對稱軸兩邊,且正好處處疊合的兩條線段,稱為關於此對稱軸的對稱線段(若該圖形為多邊形則可稱為對稱邊)。在對稱軸兩邊的區域,稱為對稱區域。若對稱軸通過該對稱圖形的內部,則在軸上的點的對稱點即為其本身。
2.線對稱圖形的作圖
(1)剪圖法:將一張紙對摺,在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下(使透過兩半),然後展開,則可得一個線對稱圖形。
(2)描繪法:利用雙面複寫紙或單面複寫紙皆可以畫出線對稱圖形。將一張白紙對摺,將複寫紙插入對摺紙之中間,使可透色的面和白紙之兩個內面接觸,然後在對摺紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圖形,畫好之後,將複寫紙取出,展開白紙,複寫紙透色的面即出現所要的對稱圖形。
(3)利用對稱軸垂直平分對稱點的連線之特性:在一張白紙上適當位置畫出一條直線當做對稱軸(如圖七之(1)),接著於軸線的一邊畫出所要的對稱圖形的一半圖形(如圖七之(2)),定出一些關鍵點(如圖七之(3)中的A、B、C),過每一個關鍵點分別畫出和軸垂直的直線段,使其通過軸線至另一側的適當位置,於此直線段上取一點使其至軸之距離等於原關鍵點至軸的距離,則此點即為原關鍵點的對稱點(如圖七之(4)中的D、E、F)。接著利用這些關鍵點連出原來的一半圖形中各邊之對稱邊,即得一個線對稱圖形(如圖七中之(4))。
 圖七:利用對稱軸垂直平分對稱點連線畫對稱圖形
(二)點對稱圖形的概念 
1.點對稱的定義
操作型定義(直觀的概念):
平面上的圖形,若可以找到一個固定點(在此圖形上或在此圖形外),使此圖形繞著此固定點旋轉180度後,新位置恰好和原位置重合,則稱這個圖形為以此固定點為旋轉中心的點對稱圖形,一般簡稱為點對稱圖形。
定幾何上的義:
若一個圖形可以找到一點P(在圖形上或圖形外),滿足對此圖形上的任意點A都存在著圖形上的另一點B使P點介於A、B兩點之間,且AP=BP,這種圖形稱為以P為中心的點對稱圖形,A和B稱為關於P點之相互對稱的點(或以P為中心的對稱點)。
從以上的定義可知,一個點對稱圖形繞其對稱中心旋轉180度後不改變其位置。但事實上,除了對稱中心以外,圖形上的任何點與對稱中心的相關位置,在保距的情況下皆改變了180度的角度。具有點對稱特徵的圖形,若其上某一點之原位置為S,圖形繞中心旋轉了180度後,其新位置所疊合的點設為T點,則稱S點和T點為關於P點的相互對稱點,簡稱為以P 點為中心的對稱點。由以上定義可知,互相對稱的點和對稱中心等距且三點共線。
點對稱概念是一種比線對稱更為抽象的剛性運動。日常生活中純為點對稱而無線對稱特徵的圖形較為少見,許多具有點對稱性質的圖形,也同時具有線對稱的特徵。一般人比較會注意到其線對稱部分的特性及運用,而忽略或較少去強調點對稱部分。學童對於點對稱概念的瞭解也較線對稱為難,在這部份概念的發展較遲。
2.點對稱圖形的畫圖策略
利用點對稱圖形相互對稱的點與對稱中心等距且共線的性質,可以容易地畫出一點的對稱點之位置。其步驟為:
(1)定出一個點做為對稱中心。
(2)依圖形的對稱關係畫出所欲畫的圖形之關鍵點。
(3)連出關鍵點所確定的邊。
 下面以圖八為例來說明:首先定出P 點做為對稱中心,接著畫出A和B 點的位置,並以A 點和B點關於P 點之對稱點與P 點等距且共線的位置關係特性,畫出A和B的對稱點D和E點,最後依對稱關係連出各邊AB、DE、AP、DP、BP、EP,即得所要的對稱圖形。 
圖 八:利用對稱點和對稱中心之關係畫點對稱圖形
(三)教材的處理方式
1.透過製作探討線對稱圖形的特性及畫圖要領。
數學實驗課程中,先透過對摺與剪圖的操作活動,喚起線對稱圖形的舊經驗,並利用複寫紙描圖方式,進一步經驗線對稱圖形的不同產生方法,引出「對稱軸」,讓學童較深入的瞭解線對稱的意義,再引導學童觀察線對稱圖形各個對稱部分與對稱軸之關係,認識「相互對稱的點」,以及找出對稱點的方法,並讓學童判斷線對稱圖形。最後引出利用對稱點和對稱軸的關係之畫圖要領,嘗試以這種關係畫線對稱圖形。
2.透過操作活動,觀察平面旋轉現象,以及圖形旋轉180度之結果,認識點對稱圖形的特徵,並經驗點對稱圖形部份區域的作圖。
具體的表徵活動是建立抽象表徵能力的基礎。學童必須從具體運作過程逐步分析探討,才能理解抽象的點對稱關係。因此,實驗教材採漸進的方式引導學童經驗旋轉現象之後,才進入點對稱概念的認識。在中年級階段利用具體表現角的邊之棒形物(如竹籤)繞著其固定的一端轉動,再以線段記錄其旋轉的起始和終止位置,探討其轉動程度,認識旋轉角,建立旋轉的初步概念。因此,高年級的學童,大都可以瞭解物件繞著一點轉動的意義,乃以此經驗為基礎,擴充旋轉情境至平面繞一點的旋轉。首先利用圖形旋轉前和旋轉後各點互相對應之關係探討旋轉之保長及保角的性質,再讓學童檢驗依指定點為旋轉中心,旋轉180度後會和旋轉前的圖形完全疊合的現象,引出點對稱圖形概念與術語。之後再進一步探討旋轉前和旋轉後重疊的點之對應關係,以及相互對應的點和旋轉中心等距離且共線諸性質,最後引導學童嘗試應用這種特性畫出一個點對稱圖形的部份區域,使成完整的點對稱圖形,並嘗試確定一些點對稱圖形的中心,以增進其分析推理的能力。
六、擴大圖(縮圖)與比例尺
(一)擴大圖和縮圖的意義及關係
圖形的擴大圖與縮圖,通常以邊長的比值來描述其擴大或縮小的倍率。具體一點來說,設N表示一個正實數,甲表示一個圖形,若甲圖形上任意兩點的距離皆擴大(或縮小)為原來的N倍時,所成的圖形稱為乙圖,則稱乙圖為甲圖的N倍擴大(或縮小)圖(N>1時為擴大圖,N<1時為縮小圖)。擴大圖與縮小圖是相對的概念,即若乙圖是甲圖的N倍擴大圖,則甲圖為乙圖的N分之一倍縮小圖。二者是相似的圖形。在原點與其擴大或縮小後的像點所成的對應之下,其對應角相等,對應邊成比例。
(二)平面擴大圖與縮圖的畫法
要畫一個直線段圖形的擴大或縮小圖,一般有三種方式:
1.利用方格紙固定方格大小畫圖:在方格紙上先畫出原圖(或在原圖上打出適當的方格),然後數出原圖中各個線段之垂直及水平方向所佔的方格數,接著於和原圖所在之等大方格的方格紙上,依所欲放大(或縮小)的倍率,數(或畫)出新圖形各個對應邊之垂直和水平方向所需的方格數,確定其端點位置,再以直線畫出各個對應邊,即可得原圖的擴大或縮小圖。
2.利用方格紙固定方格數,放大(或縮小)方格邊長畫圖:首先同1.之情況在方格紙上畫出原圖(或在原圖上打出適當方格),再依所欲放大(或縮小)之倍率放大(或縮小)原圖所在方格紙一格之邊長,以此新邊長做為新方格紙一邊的長,畫出新的方格紙(亦可使用現成適合之方格紙),並於新方格紙上依原圖各邊之垂直和水平所佔的方格數,確定各個對應邊的端點,畫出各個對應邊,即得所求之新圖形。
3.利用相似圖形的特性,對應角相等及對邊長為原圖的N倍之關係作圖:首先在白紙上取定一點為新圖形的一個頂點,畫出一個原圖上之某一個對應角,依所欲放大(或縮小)之倍率定出此角的對應邊,再分別以此角之兩邊的另一端點為角之頂點,取以此頂點之對應角的角度畫出此對應角的另一邊。仿此過程,依序畫出擴大(或縮小)圖和原圖的各個對應角與對應邊,即可得所求之圖形。
(三)比例尺的意義及表示法
比例尺是表示縮圖(或擴大圖)上的長度和實際長度的比值。縮(擴大)圖和比例尺,可說是比和比值的應用。比例尺的求法,一般採計算縮(擴大)圖和原圖的對應邊長之比,常以1 和其縮小(擴大)倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1:1000」的地圖,以比的觀點來看,表示地圖上的1 個單位長線段,就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分,則地圖上的1 公分,表示實際上的1000公分。以比值的觀點來看,它表示地圖上的1 是實際上的1/1000 。有些地圖上,比例尺的說明,除了比值或比的形式外,常配以線段圖,例如:
 1.比例尺:參萬分之一
 2.比例尺: 1 : 30000 
(四)教材的處理方式
這部分概念,實驗課程分成下面幾個階段來引導:
1.由觀察不同遠近的景象,經驗圖像的擴大和縮小後的效應,並在方格紙上嘗試畫出簡單圖形的擴大或縮小圖。
在日常生活中,學童已經常看到一些實物或景觀的圖片,這些圖片是原物的某種方位縮圖或擴大圖。實驗課程由觀察不同遠近照出的同一景物圖片,討論相同與不同取景方向照出景物外觀的大小開始,漸進至邊長的倍率關係。從實際擴大(或縮小)的情境察覺「甲圖放大為2倍的擴大圖」之粗淺概念。為使學童能較深入的瞭解圖形構成要素在圖形擴大(縮小)時的改變情形,讓學童先嘗試畫擴大圖,再由畫出的圖形檢驗過程中,體會出圖形擴大為原來的幾倍時,各個邊確實擴大幾倍的正確狀況。
2.觀察擴大或縮小圖之對應邊和對應角之間的關係。
學童大致經驗了擴大圖和原圖邊長之關係後,再從構成要素的對應概念進入,先引起全等對應關係的舊經驗,接著利用圖形投影放大,從容易觀察的位置開始,引出原圖與擴大圖上的點之對應關係,再探討邊的對應,讓學童了解同形狀不同大小的圖形間的構成要素也可以形成一種一對一的對應關係。建立了擴大(縮小)圖和原圖構成要素的對應概念之後,才進行角的全等及邊的等倍率關係之討論分析,以形成利用「對應角全等,對應邊都擴大(縮小)為原圖的N倍」定義擴大(縮小)圖的共識,建立數學上較嚴密的定義方式。
3.藉由觀察擴大(縮小)圖與原圖之對應邊和對應角關係判斷擴大(縮小)圖,並經驗擴大N倍的圖形,面積擴大N的平方倍之關係。
學童在前一階段已形成擴大(縮小)圖和原圖間「對應角全等及對應邊長成比例」的數學上嚴密定義之概念,此階段以這種經驗為基礎,首先採取開放性的方式,讓學童應用其先前的各種畫圖經驗畫出擴大(縮小)圖,接著要求其不用方格之協助,直接運用擴大(縮小)圖和原圖間構成要素的關係畫出指定放大(縮小)倍率的圖形。最後,提出不在方格紙上的一些圖形,讓學童利用構成要素的關係判別擴大(縮小)圖,使其概念逐漸內蘊化。
在圖形擴大與縮小的情況中,邊長的改變是一維的變化概念,面積的改變是二維的變化概念。學童對於後者的瞭解較為困難,必需透過直觀的圖形分割才能理解。實驗課程乃透過將擴大圖畫在方格紙上的活動,引導學童先利用方格的協助,觀察原圖和擴大圖的面積變化關係,再將面積擴大(縮小)的倍率和邊的擴大(縮小)倍率關係結合,使兒童發展出由邊的擴大(縮小)倍率推知面積的擴大(縮小)倍率之能力。
4.由比例尺之需要感情境,認識比例尺,並運用於地圖上有關情況的閱讀。
首先以未標示比例尺之簡單情境平面圖,引起學童推斷實際情境大小的困難,再提出常見的比例尺表現形式,溝通其所表示的概念,接著以標有比例尺及某些活動場所的學校地圖或兒童較熟悉的地區之地圖,讓兒童利用比例尺探討一些地點間的大致距離與比例尺的關係,以增進其對比例尺功能的認識與分析推理能力。
陸、結語 
圖形的抽象特質,必須藉著實物上的結構來呈現。兒童必須透過可呈現各種形狀之實物豐富的拼排、翻摺、疊合及製作等活動,才能領會圖形上的各種特徵或性質。兒童對於幾何概念的瞭解有其層次性與次序性,實驗課程之設計,除了強調兒童從操作、觀察活動中探討圖形的概念及結構的特性外,也特別注意到兒童各個幾何概念發展階段特性的配合。在這樣的配合下,期使學童經由做、說、聽、看、讀、寫(畫)等的觀察、討論、分析及推論之過程,對於平面圖形概念與運用,能獲得有意義的學習。
 
參考文獻
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臺灣省國民學校教師研習會(民81-87):國民小學數學實驗課程教師手冊第一~第十二冊,臺北縣,. 臺灣省國民學校教師研習會。
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臺灣省國民學校教師研習會(民86):國民小學數學科新課程概說(中年級),臺北縣,. 臺灣省國民學校教師研習會。
 
 





[該文章於2006/8/23 下午 07:52:59被高伊蓮編輯過]



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